Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

CINQUANTIEME SOLUTION20

205

devient - 2-2 ( it2 2V~2V~a2 2 2aV2 0.
Si 1'on substitue -I dans le trinome quadratique en z, on
trouve 2 ~a -va t 2 - ~a et le signe de ce r~sultat
montre qu'il existe pour ce trinome une seule racine acceptable,
la plus grande racine n6gative. La valeur de 0' se place entre -,t- par suite les points communs correspondants apparaissent
sur les branches infinies,. passant en 0, de la quartique.
Passons an calcul des coordonn6es de Pl. Dans le syste'me
cart~si,i on aura x' XI24U 12,
i ~Vx'x'-~2 ~\//12 -2a2 - 2a\//a2 F-12
2
Dans le syst~me polaire on aura
2aV2 _ _,I -F- cos 20'
cos 20' -, 2' 01 p' I~l
d'oii l'on d~duirait d ti reste x' et y'.
EXERCICE. - Etuclier les quatre points strangers r6els
quand 12 -8a2. Forment-ils Lin quadrilate're de' Pappus
Le Solution
M 6thode. - -Poursuivons, avec le point P, la m~thode de
combinaison, voire de transformation des lieux repr6sentatifs.
Adressons-nous A l'ensemble biquadratique des cercies (OPP'),
(OP'P"'), transform6 du couple quadratique des droites P1,P,
P'P~' et ~ la strophoide, transformee de l'hyperbole fondamentale. Co'mme variante, cette cubique sera remplacke par
l'ensemble du huitie'me degr6 des lemniscates,' transform~es des
deux hyperboles de'riv~es asymptotes d Ox, Oy.
Op~rons seulement dans le syste'me coordonn6 x'Oy' sur les
f ormes Xr'2 + y'12?~ ', II2aV2 X'(X'2 *-j 2 -1J2(XI2 - I2
Cbacun des cereles rencontrera la cu1iq ue en son point,double et aux points cycliques de l'infini, ainsi qu'en deux