Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE-HUITIEME SOLUTION

203

rapportitendan, vers z6ro finit par rester inf6rieur a l'unite et
les points de l'arc de strophoide se situent dans la boucle. Cela
etant, si on avait O< < OT1, la boucle complete de la strophoide.serait a l'int6rieur de celle de la lemniscate ou la couperait enplus de deux points r6els, ce que contredirait le fait qu'il n'existe
que deu-x points r6els P., P au plus. On doit done avoir O S > OT.
XLVI Il Solution
Methodoogie. - Les deux cercles (OPIP'), (OPP'') ont 6et
ombines avec un lieu quadratique, y compris le couple PIP1,
PP'P' dont ils sont les courbes inverses, et 6tudi6s, soit avec.xOy, soit avec x'Oy'. Combinons-les maintenant avec un lieu
non quadratique en nous bornant au seul systeme coordonne.x'Oy'.
Associons d'abord les cercles en question et la quartique a
quatre branches
x'2 - y'2 \/2( a + z a2 + 12) x' = 'x',
2X'2(X'2 - y'2) - 8a2x'2 - 2(X'2 - y2) = 0.
Examinons le premier cercle (OP1P'). I1 coupe les deux
branches se croisant en 0 en deux points r6els (ce ne sont pas
les points-solution) en outre de O compte deux fois. II rencontrera la branche de sommet S, et cette fois en P1, P, si l'on a
X'-> OS, ou v2(- a + -Va2 12) > V/l- 8az
2
ou 312 > 8aVa2 + 12, ou 914 - 64a21- 64a4 > 0,
ou (12 - 8a2) (912 + 8a2) > 0, ou 12 > 8a2.
11 restera deux points communs imaginaires qu'il faudra,ecarter.
Confirmons ces resultats par le calcul. L'ensemble des
secantes communes paral1les a Oy' s'obtient en eliminant y'2,et se formule.x'2[4x3 - 2 'x'2 2(/2 + 4a2)x' -+ 2 x'],,011 -q- avx, a 22x' -
onX'2( a + \/a2 l)2 a2x' (a- \/a - 12)21
Negligeons x' recon ennaissons la. secante PiP' qui, pour
ocouper reellement son cercle inverse, suppose l2 > 8a2 comme