Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

202 -

DEUXIEME PARTIE

La r6a]it6 de t' exige
12 + 4a2 _ 4a/a2 -+ 2 > 0, ou 12 > 8a2.
Si no-us coupons la cubique par la droite y' =t'x', nous trou12 1 t'2
vons x' = -, et, grace a la r6solvante en t',
2a -I t/2 2
12 4a/a2 ~- 12 4a2 12 1
2av/2 212 '+ 4a2 -4a a2- -- 12 V2 Va2 + 12 -a
a + Va2 + 12
~ /2
a +- a2 - 12
Puis on calcule y' /1 + 4a2 - 4 2 1
+ 4a 4aVa
/12 2a2 _ 2aea2 - 12
2
En deuxi6me lieu, recherchons 0' de pr6efrence a t' a l'aide
I2 cos 2 2/
des focrnes polaires p = _ 2, 2 kcos 20'.
2a/2 cos 0'
I1 vient 14COS 20' = 8a2]:'Cos20',
4a2k
ou cos 20' _ 4a1 - 4a-2k2
Deux conditions 0 < cos 20' < 1 se traduisent par 4a2k2 < 14
et 8a2k < 14. Celle-ci suffit et conduit a 12 > 8a2.
2a
ExEriCICES. 1~ Transformer cos 20' en ~ (a + \/a2 + 12),
discuter cette valeur et en d6duiie x', y'.
20 Etudier le second groupe de 12 points contenant P,P''.
L'examen de la figure ne permettant pas de conclure aussitot
que cesl deux points-solution sont reels, recourir aux hyperboles
inverses de la strophoide et de la lemniscate a propos du trac6
des c!d^nTbes.
Note. -- Voici un procede autonome aboutissant a la condition ci-dessus O > OT1. M1.ontrons a cet effet que l'are de
strophoide voisin de O se trouve a l'int6rieur de la boucle de
la quartique. Soient p', r' les deux rayons vecteurs infiniment
7 0t v -:aluons: p2 4Coos 20'.
petits lorsque 0' tend vers T Evaluons Ce
(4I 1r-2 Sa2k.cos2O'