Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE-SEPTIEME SOLUTION

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discut6e l'intersection de la deuxieme lemniscate et de la
quartique. Nous aurons
2a
cos 20' (a - \/a2 -12), p' - k2 /-cos2,'
1~~2
x' = p' cos 0' = - \/ [i- ( — ~- (a - \Va2 2)] = a
y' fp' sin 0' - \/ LI -2a (a - a2 l 2)i
/2 2c 2a fa2 + 12
Variante. -Combinons la strophoide et les lemniscateso
Leurs points communs seront au nombre de 3 8 = 24
r6partis en deux groupes de 12. Dans le premier groupe, 'origine
compte pour six (point double commun et tangentes communes
aux courbes int6ressees) et les points circulaires de 1'infini
pour quatre (chacun d'eux etant simple pour la strophoide et
double pour la lemniscate). Il reste deux points qui figaureront
P1, P'. Leur r6alit6 se traduit par 0Z > OTT
14 12
ou 8 2> 2 (- a + Vt2 - 12), ou 12 > 8a2.
8a2 2>a
Note critique. - Cette condition de grandeur O > OT, ne
s'apercoit pas a premiere vue a l'examen de la figure: ies deux
boucles sont trop voisines l'une de l'autre. Nous l'avons deduite
des positions relatives plds apparentes des branches d'hyperbole
qui par inversion ont fourni ces boucles. Ce d6faut de la m6thode
geom6trique ne se retrouve pas si on aborde le calcu, 'Nous
opererons de deux manieres et nous obtiendrons cette fois les
coordonn6es de P1.
En premier lieu, recherchons la pente t' d'une droite joignant
l'origine a un point commun entre
2aV2x'(x2 -4 — yr') _ 12(x2 - y'2)z
et (x'2 + y'2)2 - k2(x'2 - yz'2)z2
ou z' represente la variable d'homog6n6it6. II vient, en 6iiminant z', 14(x'2 - y'2) - 8a2kLx'2 = 0;_
d'oi, en posant y' - t'x', 12t' 12 + 4a2 - 4a/a -- 1'2.