Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIkME PARTIE

Les sym~triques de P1 P' mis de cWt6 il subsiste huit points
~trangers imaginaires, que nous pourrons distribuer sur quatre
parall~les A Oy', et A cet effet Mliminer y'2 pour obtenir le
faisceau complet des s6cantes de cette nature parmi lesquelles
figureraient PjP' et sa sym~trique. On pourrait i6galeme'nt les.
distribuer sur quatre droites concourant en 0 et 6L cet effet
l1iminer une variable d'homogenelt6 pour obtenir un faisceau
complet de cette espe'ce parmi lequel se trouveraient 0P1, 0P.
ExERCICE. - Effectuer cette derniiwe 6limination et recou~rir
aux pentes t' des droites 8 (voir lye solution).
Pr~fe'rons A: ces deux moyens l'emploi des coordonn6es
polaires'. Les 6quations deviennent
'2 (12 + 8a 2)cos20' - l2sin2o' 2 k(
2 cos20' cos 20', p' 7cs2'
On en tire (1+ 8a) co2'-1 in2 0' 2k2 Cos20 Cos 2 0'.
Posons cos 20' z, on trouvera
k2Z3 + k z2 - (12 +-[ 4 a2)Z - 4a2 -0.
Or de la re'solvante en cos 20' de la lye solution, nous e trayons
2a
la valeur positive z- =2- (a a~ V2 +- 12 ) correspondant AL0P1,
12~~~~~~~~~~~
Oim, et nous constatons la relation simple It 1 s'ensuit
que le polynome en z se d~composera commod6ment et qu'on
aura + - k - k~) + -4a2
I~tudions le faisceau stranger dans le cas limite 12 - 8a 2 II
se r6duit 'a 2Z2 -i 4Z, + I de racines - I ~- dont une settle
I~~~~~~~
I+ peut repre'senter un cosinus. Mais la valeur de ce
Cosinus 6tant negative, 0' surpasse -et les droites du faisCeau
ne Coupent pas r~ellement la lemnisCate. Elles ne Coupent pas
nI'on plus les branches de la quartique, car elles se placent entre
les bissectrices Ox, Oy et les tangentes 'a 1origine, de pentes
~ 2, comme on justifiera ais6ment.
Passons au CalCul des Coordonnees de P, en supposant