Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE-SEPTIEME SOLUTION19

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C&est -a'dir-e,- 2(a -I -I- t.) 3Vat ~ 52 -, devient
n16gatif.
EXERCI:CE..- Traiter le. cas spkcial- 6ii 31 4a.
Note,. - L'ftude cart~sienne de la deuxie'me lemniscate' ne
reproduit pas, comhme 1'tude polaire', celle -de la premierPe. On'
trouvera:,que la r~alit6, des valeurs de l'ordonne'e exige x'2 -
et. que deux -valeurs. de y12 sont alors positives. Par raison
d'analo'gie, ii conviendrait 'de prendre y' comme variable et X'
comme -fonction., On voit d'a'illeurs la branche de l'hyperbolIe
qui passe en 0 c'ouper la cour'be en deuix points-solution reels
P", Pg'. Ii restera A traiter la. question des points e'tranger~s.
XLVIje Solution
Metbtode.- Nou s associerons a nouveau deux lieux de P1
dont~auc'un ne s-oit du second degr6 en y comprenant l'ensemble
des~lemniscates. Le n'ombre des points strangers s'en trouvera
sensi'blem~ent accru.
Prenons le syste'me d~riv6 compose de la quartique et des
1cm usates
2jT2(x'2 y'2) (12 82)X'2 12- l2y2
[(X'2 A- y'2)2 - k 1x2 - y'2)] [(X'2 A- i2)2 k1x2 i2)]
Le nombre. total de points commun s.r~els on imagina'ires,
distribu~s sym6triquement par rappot a l'origine, sera
4 x 8 32. Examinons la premi6 e des lemniscates et ses
16 points de rencontre avec la quartique. Quatre de ces points
coi~ncident' en 0, point double -des courbes. Les boucles de Ia
lemni~scate se trouv ent dans les angles xOy, x10yl,tandis que les
branehes-;se croissant' en 0 de la quartique se trouvent dans
x1Oy, x~yj, sans intersection r~elle possible. La r6alit6 des
points, P, P' sur la branche de sommet S exige que l'on ait
OS< 0T1, on (-a+8a2a 12 _1a
12 2)( — V A)
ou 2a( -4 4a) 1-2 Va2 + 12,
on4 412 - (28a2) (l14+ a212 +84) >0,
on~,cororneaole tri'orne bicarr~ reste positif de lui-me'me, 12 8a.