Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

PREMIERE SOLUTION9

9I

D'un autre e0t6 les coefficients angulaires de MN et de son
sym6trique M'N' sont de me'me signe, los angles en M et M'
pris en valeur absolue, valant M et N, sont compl6mentaires,
de sorte que les deux valeurs correspondantes de 7n sont inverses
l'une d~e Fautre. Ii en est ainsi pour M"N" et M"'N"'.
Conseqitwnce. - L'6quation en mnd rbie u4 degr6,
sera reciproque.
Justifions ces r6sultats en abordant effectivement la r~solution par le secours do la g~om~trie analytique.
Les axes do coordonnkes seront x1Ox, YlOy. Los coordonn~es,
do A seront a, a. On trouv7e ais6ment comme equation- do A
la relation y - a 7n(x - a).
a
On en d~duit sans peine OM -- a - -, ON - a - am.
Dans n'importe quol cb~s do figure possible, il faudra 6crire
12 - ()O2 2 a2Q 1)2 -a2(1 - rn2,
1,2 (1 -M)2(I MHi2)
011 a2~~~~~~
Telle est 1'6quation r~eiproque biquadratique quo nous
venoIns do pr6voir. On constate qu'elle d6pend d'un soul para-.1 a
mitro do variation - ou - au choix noien n 'empe'he do chasser
al
le chinominateur a 2 et d'obtonir des coefficients homog~ines et
du 2e degr6 en a et i.
Pour la r~soudre on posera in + ~ s, par exemple.
mn
L'6quation r6solvante fort simple so symbolisera
12
cp (s)-S2 -2s - O..
Los racinos r~ellos do cp seront I ~-
La racine positive s' est supe'rieuro ~L 2 et donne deux racines
r~ollos positives inverses pour 1'6quation correspondante
/fl2 - M'n 0.
La racine n6gative sll f ournira deux nouivelles raci-nos inverses,