Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

198 DEUXIEME PARTIE
Variante. - Servons-nous de 1' quation polaire pour effectuer
ce'calcul. On aura alternativement
x'2 + /22 =.12 2. cos 2O', (a +- \2 + 12),
2 'C22a
X' --? cos e = -9'CI cos 2 O' 1- 1 )
2 2 o 2
a a - \/
V 2(\/a2 2P 12 a) +2
/ V 2 V 2(a + \a2 + 12)
12 - 2a2 - 2a a2 + 12
2
Variante. - Combinons les deux lemniscates et l'hyperbole
fondamentale. La conique coupe la premiere quartique en
huit points dont deux coincident avec 0. Les six autres, y
comnprs P1, P se situent sur trois paralleles a Oy'. En effet,
eliminons y'2 entre
("'2 - y'2)2 - k(x'2 _- y2), x'2 y'2' 2aV2x'.
II vient 2x'3 -4aV\/22 -t 4a2x - aI/2k = 0,
qui, apres decomposition, s'ecrit
( a + a2n+ 12 [2x2 +V2(\/a2- 12 - 3a)x
+ (\/a2 +- 2 - a)2] = 0.
a ' Va2 - 12
Imposons la condition < k1 necessaire a la
r6alite de P1, P'. Elle devient
12
12 + 2a2 +-2a\/a2 -2 < - (- a + \/a2 + 2)
ou 2a(a2 + 12) < (12 2a2)\/a2 + 12,
ou I2 > 8a2 entrainant 12 > 2a2.
S'il en est ainsi, les deux autres paralleles a Oy' deviennent
imaginaires, puisque leur discriminant
2 (/a2 + 12 3a)2 - 8 (\/2 + 12 a)2,