Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

1~~~~4 I3~EUXIEME' P-ARTIE'
que 1 > 2a, reste ambiguti ii semblerait que la branehe de la
strophoide qui part au-dessou's de l'autre et tend vers une
asymptote pius 6cartie doive~ rester constamment aul~des5sous.
Ii n'en est rien, comine le calcul va maintenant le justifie'r.'
Eliminons dans ce b ut y'2 entre les 6quations;ii vient
2x '2 - (12 ~ 8a 2) 12 —.2~x
2x2- 12 j2-p 2aV~x'
on 2xI3 - (12 + Ita2)x' aV 2l- 0.
Or, on pr6voit que le couple droit des s~cantes P P', P'jP4
va s'introdnire et en effet on peut 6,crire identiquement
2x13 - (12 ~ 4a2) XI - ay'2 12. -(2x '2 -2aVOXJ. 12)(XI -v-a V72)
D~sormais les courbes se rencontrent. sur trois parallides
aL Oy' et la r~alit6 des points communs, sur le couple' d roit, a
Wt discut6e plus haut. Nous pouvons par suite affirmer dans
tons les cas.la pr~sence de PjP~' et lever l'ambigutt6 orsqjne
1 > 2a:les deux branches positives se coupent en P' et un
point 6tranger, les branches negatives en leurs symitriques.
Ii reste A examiner la s6cante singulidre x' aV2 &.0 avec,
par exem-ple, la strophoide. Si l'on a - aV2 < 2a2 on
1<2a, cette droite se place an dela de l'asymptote et ne,
rencontre pas r6ellement la courbe';si -au contraire on a I> 2a,
deux, points s'introduisent que rien ne permettait d'escomnpter
a l'avance.
Note. -— Lorsqne 1 vaie, les. six points variables d'intei'section
des deux courbes. d~crivent une hyperbole 6quilatkre (cc sont
les poin-ts P1_) et une droite (cc sont les points en question).
Note. - Ces deux- points strangers se situent a gauche ou
droite de P,' P~'" suivant que -a\/ est, infdrieur ou superieur a
a - /a 2 ~ 1212> 2
en d'autres termnes sniv\ ant que l'on a 12 on < ScO
EXERCICE. - l~tudier les deux cas:I o1 2a;20,1 z2aV2.
dy'
D ans cc dernier cas, 6valner la valeur commune de pour
X' z aV2.
Qnant an calcul de x', y',, il s'effectuera, si on vent, 5 l'aide.
de la strophoide et du couple droit comme on a vu. On K., com