Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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8 ~~~~PREMIERE PARTIE

syrmitrique M"N, non figur6e, situ6e dans (2). Cela r6sulte
aussito't de la variation continue de GM"' et de celle, de nem~me
sens, de ON"', quand N"' se d~place de 0 jusqu'd l'infini Sur Oy1.
Dans la r~gion (1), les segments GM, ON variant en sens
c~ontraire, on ne sait rien d'avance de la variation de longueur
de MN. Pour tourner la difficult6, observons que AM, AN
varient proportionnellemnent & GM, ON, puisqUe GA est la
bissectrice du triangle GMN, et qu'il suffit'de suivre les variations comparkes de ces derniers segments. A cet effet, imag~inons que A pivote d'un angle infiniment petit positif zdans
le sens des aiguilles, d'une montre autour de A, ce qui am~ne MN
ah occuper la position M1IN1~. Comme GM et QM1ll sont respectivement infe'rieurs d ON et ON, on voit d'abord intuitivfement,
que le raccourcissement MM, est inf~rieur & lFallongement NN,
11 en est ainsi de AM - AM1 et AN1 - AN, raccourcissement
et allongement respectifs de AM et AN. En d'autres termes, on
peut poser AM - AM1 < AN1 -~ AN, d'ofi l'on tire
AM AN < AM1 ~~ AN1, ou MAN K MIN~.
Ensuite, si nous raisonnons d~ductivement, nous 6crirons,
propos des deux triangles infiniment petits AMM1, ANN,, les
MM1 AM NN1 AN
propotions sin E:sin Ill sin s sin N
Or, dWune part, AM K AN et, d'autre part, sin M1 > sin N1.
Pour ces deux raisons concordantes, on d~duit rigourensement, et non intuitivement cette'fois, MM1 K NN 1. Tenons,
compte encore de la position remarquable MONO de MN devenu
perpendiculaire A GA, ou position de sym6trie, et concluons que
le segment de Pappus crolit continuellement depuis son minimum M No jusqu'd son maximum infmin atteint quand A
devient paralledle d Gy.
EXERCICE. - Evaluer AM, AN en fonction de la distance
commune a de A a Ox et Oy, ainsi que de a pris en valeur
absolhie &kialuer de me'me AM1, AN1 en faisant int ervenir en
outre lFangle z montrer alors que l'infiniment Ipetit AM - AM,
est inf6rieur a AN, AN.
Cela 6tant, d une valeur donn6e 1, du segment recherch6,
il doit, correspondre deux. solutions M"N, M"'N"' dans les,
quadrants (2), (4) et, sons la condition formelle I ~ VOO
c'est-&~-dire 1 > 20A et mieux 1 > 2aV2, deux solutions
nouvelles MN, M'N dans (t).
ConsOqttence. - L'f6quation en mn du probl~me devant avoir
quatre racines, r6elles ou non, sera du 4e degr 6.