Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE-TROISIEME SOLUTION.18

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de sorte que, gra"ce aux signes des vecteurs x, y, l'on trouve,
y compris le quatridme cas, la mne're relation.
En l'affectant de la forme
f(Xc y) -,Xy(X +- y)2 12Xiy -- 2a 2(X y2 0,
nous reconnaissons un lieu de P1 du quatrie'me degr6 admettant l'origine comme point double et d'inflexion, les direc-tions Ox, Oy, Oy' comme directions asymptotiques et Ox',
O'comme axes de sym6trie.
Nous 6tLldierons plus commod6ment cette quartique dans le
x/12 - 1
syst~ me x'Oy'. En substituant x'l I/2 a HY~i~
elle devient
/ '(x', yf) =2x'(2- y'2 8a~x2 1(' y2 0,
ou I XI ~~/2x '2 - (12 -+ 8a 2)
Oil - ~~~~~~2x.- 1
Tenons compte des axes de sym~trie et contentons-nous
d'examiner la courbe dans le prem~ier quadrant x'Oy', oii 1on
a I >0, '>O. s 1*-.
Le signe de I adrve V e dy 2 2y' tl
'In dXI ~~~~dx' dx'
calcul montre que ce signe est celui du trinome
4AX4 -. 4l2X2 -H 12(12 + 8a2)
qui reste positif.
Nous dresserons le tableauXI 0I1 ~,12 — 8a2 -HCOc
dy'
y 0 jI 0- 0 2 0
Sur la figure, en regardant le quadrant x'Oy', on voit la
courbe partir de 1'origine tangentiellement A Ia droite de
pente 12 lim8a ite de Y pour = 0; tendre vers l'asymp -
-tote d'abscisse OS1 -; repartir du sommet S tel que
0 S ~ 4- a tendre vers 1Fasymptote oblique Gy ou