Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

186

186 ~~~DEUXIEME PARTIE

The'oreme. --- Ces deux centres sont les sym~triques par rapport
&a 0 des pro jections de 0 sur les bases de (PI).
Un nouvel inverseur, ou pluto't une modification de celui qui
nous, permettait de'r6aliser l'inversion entre H et H', re'idisera
1'inversion entre f~ et Q2' (le module est le meime dans les, deux
ceas). Ii nous suffira d'adjoindre aux tiges MA1_A1N,, M~AIN,.
deux losanges articul~s de sommets oppos6s 0, P1 pour l'un
et 0, P' pour l'autre. Les autres sommets laisseront passer
librement deux, tiges, m~diatriees de OP1 et 0P, qui viendront.actionner'deux goupilles O., Q~' coulissaLnt stir x1Ox'.
XLIjle Solution
Mfthodologie. -- D61aissons ici la m6thode de conmhinaison
des lieux g6om~triques et recourons d un th~or~me 6f16mentaire
relatif au carr6 de la bissectrice en fonction des co'tes qui la
comprennent et des segments qu'elle d6termine sur le troisie'me
c"t& Nous d6gdgerons de la sorte un nouveau lieu ~mtiu
du point P1.
Examinons d'abord sur une figure ant~rieure les triangles
OMAN, OM'N dans lesquels. GA joue le ro'e de bissectrice'
int~rieure. On connai't ]a relation m~trique du th~or~rn.e en
question GA2= OM.ON -AM IAN.
Or le pied A de la bissectrice partage l'hypotdnuse MNN en
segments proportionnels aux cot6s adjacents et l'on pent
ecrire
AM AN ___ I x, AN
x y x-Vy x -Iy x +y
On en d~duit 2a 2 =y -Y _____
(X +- y)2
Cette relation corn-ient 6galement au triangle OM'N'.
Mais, pour les triangles OM"N", OM"'N"' le segment GA
devient bissectrice ext6rieure et l'on doit poser cette fois
-A AM".ANT" -OM".ON".
AM "/ AN" ______
D'un autre eo on a1x l~~y
d'ofi A AN"-_ _