Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE-DEUXIE'ME SOLUTION 1:

I S5,

son rayon a une grande valeur;d'une f aeon plus pr~eise, si ce~.rayon surpasse celni du cercie bitangent aui sommet, on cercie,
osculateur. Adniettons provisoirernent qIue le cercie osculateur
au sornmet d' une hyperbole 6`quilatdre a un diam~tre 6gal a
l'axe transverse:il sera done rencontr6 par Ox' en un point
d'abscisse -- 2a. Exprirnons d6s lors que ce point se trouve plus
pros de 0 que celni qui correspond an cercie du couple F(x, y).
On 6cri~ra F(- 2a) = 12 < 0 et cette condition se rkalise,
d'elle-rnenie. -Les points-solution P', P~' en r6sultent.
Qunant an calcul effectif des coordonndes, s'il s'agit de P'on
partira du syste'lne synmhtrique
-2..( - 2+1)(x A-y), xy ==a(x~,)
et cette Lois la droite x ~~ y a -- \la2 -j que nous avons
6vitde s'introduit ine"Nitablernent.
Note. --- Justifions la propriWtd'qui vient de nous servir. Un
cercie tangen-t en 0 ~i xy — a(.x -y) s'.6crit x2~-_y2 ~ [(X +y).
Ce syst~nme doit fournir la seule s~cante double x A- y 0. Si
l'on miultiplie la. preini~re relation par lc facteur nurn6rique 2 et
si on ajoute la deuxi~me, ii v7ient
(x A~- y)2 -- (2a -v ) (x -v y)
qui, devant se, r~duire a, (x y) 2 —:: 0, entraine 1'6galit6,
2a + [i. = 0. Le cercie osculateur coupe Ox' en un point
d'abscisse - 2a representant le sym6trique du sommet A.,
relativement a~ lorigine. ILe di arntre vaut par conseqnent l'axc
transverse de l'hvperbole.
EXERCICE. Prouver le n~meni fait en raisonnant sur lan
forme classique X2 - 2 - A2.
En dernier lien, pr~sentons quciques reinarques stir lc quadrilatre de Pappus. Si on d.6signe par ~2, ~2' ]es centres des
cereles (0P1P), (OP'P'j), on a vn que X' qni vant soit 2 0 ~2,
soit 2 0 ~2' r~pondait ala double valeur \12 (- a -.V'a2 12)
- - ~~~~12
Il s'ensuit que Von a O~2 OD2 De plus
O~2 - a - l- 2 /a2 12 — OH' et OQ1'_ OH.
Nous 6noncerons les deux thdordrnes suivants
Th~ore'me. - Les centdres des cercles circonscrits aux triangles
0PIP, OPTP' restent inc'erses lVan de l'aatre lorsque a carie.