Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE ET UNIEME SOLUTION

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et situons convenablement les points ou Ox' les rencontre. On
6crira la condition
'- 2( vCla +- va2 t-12
/2 ( ---c a a 2 + 12) >
\2
ou Va2 -12 > 3a, ou 12 > 8a2.
a -+ \/a2 - 12
Au contraire, comparons - la racine positive
~2
de F(x',O) et formons
F(a + \/a2 + 12 ( _2 + 2av )
F /2 t -- ~ (2a2 -- + 2a /'a2 -- 2).
V2 2
4Ecrivons que ce nombre est ndgatif, c'est-a-dire
2av/a2 -- 2 < 12 -. 2a2.
Sous la reserve que 12 surpasse 2a2, elevons au carre; on
trouve 12 > 8a2 et de ce fait 12 surpassera 2a2.
Le calcul des coordonnees se fera pour P, par exemple, a
partir de
x/2 _ +y'2 = / (- a- a2 + 12) ', a2
x' a
\/2
Note. -Essayons d'exprimer simultan6ment la r6alite des
quatre points-solution en imposant aux droites du couple
rectiligne de couper r6ellement les cercles du couple bicirculaire.
Suivons plus completement encore F'idee qui nous a guides a
propos de la m6thode d'implicitation. On sait que les racines
xI, x2 et 3, x4 de deux trinomes q(x), 4(x) ne sont pas enchevetrees, si le r6sultant R de ces trinomes est positif. Un doute
subsiste dans ce cas, puisque quatre dispositions xl<x2<x3<x4,
X3<1< X2<X4, x3<X4<X1<X2, X1< X3<X4< X2 restent possibles. Comme c'est la deuxi6me qui nous int6resse, en supposant
que x1, x2 dsignent les abscisses du couple rectiligne et X3, x
celles des points extremes ds d deux cercles pris sur Ox', il
restera i exprimer sans faire intervenir le moindre radical que
1 2 2 se place entre les racines de F(x',O) et aussi, afin
2
d'ecarter la quatrieme, disposition, que ]'on a x2 - x1 < x4 - x3.
Si 9 et q 6taient quelconques, cette in6galit6 introduirait les
racines carrees des discriminants, de sorte qu'une 6levation au
carre deviendrait indispensable, mais ces trinomes ont ici le