Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

182

182 ~~~DEUXLIE'IE PARTIE

xi Y1 12
Rkciproquement on aurait T Y x ~2 y1
Cela pos6, combinons la quartique bicirculaire avec le cercie
initial: les points P1 seront alors d6finis parF =,O, x2 -+y' Y l
Nous discuterons la r6alit6 de ces points en rnettant a profit
justement la m~thode d'irnplicitation. Les points de rencontre
du cerele pos6 A droite de Oy' et de XI2 +- y'2 12 srn ~l
si, en les coupant par Ox', les points obtenus sont l'un ak droite
de l'autre. Mais l'abscisse du premier est renfernm6e implicitement dans F quand on fait y' ~~0 et qu 'on n6glige la racine
0, celle du sec'ond est 1. Formons dGs lors
F(x',0) x' 2aVx' - 212
sans tenir conmpte dn facteur double XI2 et: calculons
F(l) - 1(2a\/2-') 1).
Si nons inmposons ~tce r~sultat de substitution d'e~tre n6gatif
pour assurer l'ordre convenable, nous trouvons la condition.1 > 2a\y'2...1 en r6sulte deux points-solution P, P/ on un seul
a la rigneur si 1 2aV2. En discutant de me'me le cercie du
couple pose a gauche de Oy', on est conduit L) 6rire
F(- 1) -1(2c1\/2 ~~ 1) < 0.
Cette (condition a lieu d'elle-me'me et P', Pj sont toujours
roels et distincts.
Quant aux points 6trangers, on sait que (leux cereles poss~dent
en outre de deux points communs r~els ou non at distance finie
les deux points irnaginaires de l'infini dits points cycliques
pa utparmi les huit points d'intersection de la quartique
bicirculaire d6compos~e et du cercle fondamental, on 6cartera
les points cycliques compt~s deux fois.
Si l'on entreprend ensuite le calcul des coordonn6es x',I y,
on Ivoit que X'2 -I yI2 se renmplace par 12 dans F et qu'on se
ramene a. un calcull connu, portant Sur deux lieux quadratiques
de Pi.
E'xERCICE. - D~finir les points-solution par
F - 0, x'2 -y 2 - 2 a /x'.
Combinons enfin F -0, 2x'12 - 2aV2.x' - 12= 0. La discussion se pr~sente sons un tout autre aspect. Cette fois c'est
le pr6e~6& d'explicitation qui, reussit le plus vite. Prenons par
exemnple le cercle et la droite des deux couples le plus A droite