Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTE ET UTNIEME SOLUTION18

t 811

d~finissant tanto~t P., PISi +~Itantot Pl P1'. On obtient
12V2?(a sa2 +j 12),o ' V2(a~ /a~ 12)
Si l'on veut l'dquation rationnelle foiirnissant X', il suffira
d'isoier le radical et d'61ever au carr6, on trouvera
Variante. - Au fond nous venons d'61iminer xf, y' entre
trois relations dont l'une comporte un double signe. Op6rons
l'limination sur l'ensem-ble rationnel
x'2 -i-'2 ~ ~Q x'21- - 2'12
On aura Xx'l, 2()2 2aV,2( ~ 12 —0
Variante. — Observons? x' -- 12, signifiant cjue ]es' points
d'abscisses X' et x' (les points oft le cercie (OPPD) par exem'pie
et la droite PjP' coupent Ox') sont inverses, dans une inversion
de po5le 0 et de module 12. Ceci nous sugg~re la relation de
position entire le cercle et la droite eux-m-wmes, ~ savoir que le
cercie est le transform6, par inversion de la droite. Admettons
pour un moment que les formules de transformation soient
12XI 12y'
X X/2 ~Y!22 I' o 'u~ X', Y' designent les
coordonn6es de l'inverse de (x', y'). En, les appliquant au couple
2x' - 2a\/2 x' —2
des droites P P" 'PT111 on produira le couple des cercles (OP1PD,
(OP'P'f) d'6quation
F(x', y') (x Y~~1) 2a\/' x2 y'2)x' 21x2 0
dans laquelle x', y' redeviennent les coordonn~es courantes.
Remarquons la parent6 entre / et F, qui r6sulte de la signi1 -/ X'2
fication de x'et, avant de potirsuivr, usifin
les formules employ~es.
Note. -- Soient deux points inverses m et M, pour fixer les
xl y.
id6es. La droite inM passant par 0, on aura
Mais OmOM= 12,
x y' 0_ 1 Om OrN.O1 /2
d'ofi - - _ _
X' Y'OM G12 X/2 Y/2