Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

ISO

180 ~~~DEUXIEME PARTIE

Coupons ensuite la quartique par Oy', ii vient, en faisant
y x, la nouvelle 6quation auxiliaire
f(2) - I- 2a~v 22 0
dont la racine positi-ve correspond aux sommets r6els de la
deuxi~me hyperbole. Le cercle liii sera secant si l'on a > 2
712 (12\ 1
et pa~r cons~quent /~)>0Or /2~) - et la condition se
2 2~~~~
trouve remplie d'elle-me'me. D'ailleurs le. contact, du cercel
aux sommets, de la courbe ne se r~alise que dans le cas lirnite
de I1 0. Nous retrouvons ainsi le nombre connu des pointssolution.
Note critique. -- Cette rnitbode, pour devenir avantageuse,
suppose taciternent que les, racines de f pr~sentent un veritable
caract~re d'irrationnaliU, en d'autres termes que a2 -1 ne
solit pas carr6, parfait. S'il en allait autrement, soit a2 + 12 -,
le proc6d6 direct d'Wexpliclitation pourrait-on dire - b~n6&
ficierait de quelques simplifications. En effet, reprenons, les- ~~~~~~~~12 2
calculs, on aura Va(a?~. 2 <1I ou 2a. a~ <
on 0 a -H-, o 9a2-H a2 et finalement12>82
XLIO Solution
Mkthodologie. - En outre des faisceaux biquadratiques
paralle'les al Ox' et conconrant en 0, nous avons examin6, la
quartique des deux hyperboles 6quilat~res d'asymptotes Ox,
0Yen taut que lieux auxiliaires des points P1. Nous engendrerons, a nouveau un lieu auxiliaire comnpos6 de deux cercies,
1'un passant par 0 et portant P1, P', l'autre p~assant par 0
et P' P'. Re'lativenient a cette quartique dG~n~re en cornbinaison avec un lieu quadratique de P1, nous, saurons de me'me
discerner les vrais points-solution des points 6trangers.
Plusieurs' proc6d6s de formation s'offrent a nous. Le plus
WJmentaire consistera fl partir de '6,quation X'2 H -y'?XI
d'un pa-reil. cercle, rapportd A x'Oy', et aL exprimer qu'elle se
v6i-ifie pour l'ensemhle X'2 yv y'2 - 12, j-a a