Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

QUARANTTIEME SOLUTION 17

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tame dGriv6 choisi, le syst~me xy -a(x ~-~ y), f(x, y) -0, plus
simple en pratique puisque l'hyperbole fondamentale et chacunie
des byperboles d6riv6es ayant en commun les points i~ linfini
sur Ox, Qy ne se rencontreront th distance finie qu'en deux
points seulement.
Passons au calcul efftectif des eoordonnkes de P1, preemple.
On aura successivement
xy ~a(a V a 2 4~12) x - y ~-Vl -4- 2xy,
011 X y - V/'12 -j-2a2 - 2a \/a 2 -v_ 12,
X2 -s,1 - 2a 2a~'a2 2X -~(a - Va2 — 12) 0,
2x ~ —1 ~ 2a2 2a~a2 ~-\1 2a2- 2a\/a2 4
EXERCICES. '10 Remplacer 12 +2a2 2a\/ par (a -
20 IRtudier le second syst~me d~riv6 et faire le calcul de x, y.
Note. -Comparer cette solution actuelle a la Xe, dont elle
est en somme la traduction en g6om6trie analytique:on avail
seulement commence6 -par, expliciter x ~~ y avant xy. De plus
un systme doublement d~riv6 comprendrait les deux hyperboles canoniques xy =p et les deux parall~les x - s "A
On,'. Il comporterait quatre points strangers ais~rnent reconnaissables.
XLe Solution
Mfthodologie. - Tentons de d6gager par un procM6d autonome une hyperbole 6quilat~re de orine canonique X'2 y'2- h'
rapportee a ses axes Ox', Oy'. Nous y parviendrons grace an
th6or~me suivant
The'ore'me, - Une fonction F(x', y') rationnelle et ne renfermant que des termes de degr6 pair en y' s'exprime rcttionnellernent
par rapport et x' et et x' -y'.
En elfet, il suffit de tenir compte de 1'identiti
- x'- (x' - y'2
et plus g~n~ralement de y'2n [X'2 - (X'2 - y2],
Ax' +d By"'
Exemple,: F - I__ 12__
CX'y2

VIAP0GER- - Probl. de Pappus.

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