Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

I "IT 6

DEUXItME PARTIE

Nous obtenons de la sorte deux hyperboles 6quilate'res de
forine canonique xy Iih, rnais out h est irrationnel en a, 1.
Elies adm-ettent Ox, Oy pour asymptotes et se situent dans des
quadrants diffY6rents.
Choisissons comme systime d~riv6 2-vy 12 fAxy) 0,
~non,6,quivalent au systnme fon damental. L'hyperbole dii premier et du troisi~me quadrant, r~pondant a zz * —1 coupera
riellemnent le cercie en deiix points P1, P' et en deux points.sym6triques relativement ~L lorigine, qu'i] faudra dearter, 'Si
ses sommets, sit~uds Sur Ox', se trouvent a l'intdrieur du cercie.
11 faudra donc que l'on alt \, a(a +i 'a 2 + 12) \/2 < 1,
on1 2a~a 2 l2 < 12- 2a2.
SQus la rdserve que 1,2 surpasse 2a2, 6levons ati carrd. it
Nvient 4a (a2- ) l v 4a4 li al,
n 12> 8a2 et de ce fait 12surpassera 2a2
A son tour, l'hyperbokb dii second et du quatridme quadrant
conp era le cercie en des points rdels P', P'j et en deux points
symdtriques par rapport O y', qu'on devra dertr i ses
som tsisr Gy' se placent d lintdrieur du cercie. Ecrivons
~/2. \a\/((2 a) K 1,
4ou 2a~a 2 12 < 12 +2a 2, ou, 0 <K4
tonj ours vrai. La discrimination des points-solution vdritables
et des points 6trangers n'offre gudre de diffiicult6. Du point de
vue gdomdtrique les points du troisidme quadrant sont mnacceptables et pam eux du second et du qu-tridme on ne peut
accepter que les deux points les plus voisins de Ox,, 0yli puisque
l'hyperbole xy --- a(x ~-~ y) qui les porte, se trouve dans ces
angles au-dessous de sa tangente an s omnet Oyj'. Du point de
vue algdbrique, obser-vons que le, mdcanisme de, l'dimination
ci-dessuis nous aurait conduit ~ derire
2 y2 -l2~( - (X — y)2 -2xy-12,
puis a~ 6lever xy -a(x -+ y) an carr6 pour ddgager(x~y.
Or cette 0.6vation introduit la courbe 6trangdre
xyj a(x +y),
symdtriqne de la premidre par rapport aux axes coordonnds.
'Mais tonte ambiguit6 disparait si nons songeons la mdthode
de la racine commune (antdrienrement exposde) an lieu de
tirer x + y, de (x -H- y)2 =12 + 2xy, il nons suffira de le tirer
de xy =a(x -4- y). An fond, ceci revient 6 substituer an sys