Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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I
PRELIMINTAIRES

X2 -yX -,H 1 0. RWaliser cette Elimination, non sur la forme
du lie degr6, mais sur celle du 3e de type (2). Dans ce but on
remplacera autant de fois qu'il sera necessaire x2 par yx-
dans l'quation du 3e degr6, qui s'abaissera ainsi an jer degrt,
en x; une Lois la r6solvante obtenue, vWrifier que y =2 est
racine et examiner les deux. autres. Peut-on expliquer les
divers r6sultats A priori
X -1.
D0 RWaliser-la transformation z x pour le type (1).
Equation H'ciproqtte dit deuxi'm'e genre. -- Dfinie en partant
des relations entre coefficients et du degr6, c'est une 6quation
oiii les extruimes, et les 6quidistants des extremes sont alternativement 6gaux et oppos6s, le degr6 6tant essentiellement
pair.
Une seule espe'ce en r6sulte, dont voici les Lormes successives
ax2 ~bx -a, ax4 + bx3~ CX2- bx -i-a,
ax6 ~ bx + cx4 dx - c2 - bx - a,...
si on se borne 6t crire les premiers membres des 6iquations.
EXERCICES. -10 Montrer qu'A la racine o correspond la
racine - -
20 Etudier la r~ciproque de cette proposition (6carter les
valeurs imaginaires des coefficients, en con~sidirant 'a priori
une 6quation de degr6 impair).
30 Justifier que A - I - x 4 - x5- etc.
s'expriment rationnellement en fonction de x - I.
x
410 R16soudre l'quation du Le degr6.
Ces priliminaires achev~s, passons aux solutions du probhme(1

(1) Les nombreux exercices que nous donnons A traiter A n'importe quel
endroit d'une solution devront Utre envisag6s par le lecteur comme un moyen
efficace de mieux se lassimiler et m~me d'y collaborer. Dans aucun cas ils
n en interrompent le d~veloppement. Ii pourra en premi~re lecture les n6gliger, quitte h y revenir avant de passer d la solution suivante.