Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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166 ~~~DEUXlIkME PARTIE

XXXIIIe Solution
Mkthode. -Nous ferons jouer a l'hyperbole enveloppe, que
nous allons ddterminer directement, le ro'le que vient de jouer
la parabole enveloppe et, de pr~frence, no-us adopterons les
axes -xOy.
Ecrivons aL priori xy -h et exprilmons que?X1x -Vj+1 0
(se rapporter A la Xxile solut~ion) est tangente aL cette courbe
a l'aide du faisceau des droites joignant 0 A leurs points cornmuns: xy h (Xjx 22
Ce faisceau devant se r6duire a unie droite double, on aura
(21h % X.2 1)2 - 41tX2 X2 - 0, on 11h X1,~
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et par suite hi ---
L'hyperbole inscrite au quadrilat~re form6 par les co't6s
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obliques et les diagonales de (P,) sera xy - ind6pendante
de a.
Nous sommes conduits a tracer graphiquement deux tangentes a cette courbe sachant qu'elles passent par exemple
par Ie point de concours des diagonales. Les coordonn~es de
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ce point, 6gales a —OU - -,se construisent sans
peine apr~s avoir r6solu t(X) — 0.
Les points P1L, ainsi que les droites de Pappus, s' ensuivront.
Note. - Un th6or~me 6nonce6 ant6rieurement sur 1'6quivalence des triangles dGcoup6s dans les quadrants xOy par les
droites que nous envi~sageons aurait pu nous faire pressentir
l'hyperbole enveloppe. ftudions davantage cette question.
Soil une hyperbole 6quilat~re de forme canonique x c
rapport~e a ses asymptotes. La tangente en un point courant
(x, yq) sera Y -y -y'(X - x). Ses deux points communs avec
X~~~~~~
les axes Ox, Gy au ront l'un pour abscisse x - Y-, l'autre pour
ordonn~e y - xy'. L'aire du triangle rectangle dont ils sont
les extr6rnit~s de l'hypot~nuse vaudra dans. tons les cas de
fi gure I 1 (Y -xyle) x(x~ - 2k2. Elle
reste constante.