Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

TRE-NTE-DEUXIEME SOLUTION16

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Variante. - On sait, que les projections dui foyer sur les
tangentes d'une parabole do~ciivent. la tangente an sommet,
et que, r6ciproquement. Si une droite se meut de faqon que la
projection d'un point fixe sur cette ligne d6crit une droite fixe,
elle enveloppe une parabole. Prenons ici la projection de 0 sur
XJLx' I 1, au rnoyen de la perpendiculaire? -x -
Si nous en tirons x' - a\ \/2 a tovn
1 2 ostovi
que les quatre projections se situent sur la me'me droite d'absa\/2
cisse, -i-. L-a parabole inscrite. en qIuestion apparait, avec 0
pour foyer et pour paranmhtre aV2 tous ses elements en
di~rivent.
Cela pos6, nous pouvons constnuire ala re'gle et au compas
le point de concouirs soit des cotUs obliques soit des diagonales
de (Pl) dont la distance at lorigine onu a savoir
2al\V2
v'i - n2,se c~onstruit comme une moyenne proportionnelle
entre 1, 2a\y'2, \11,2 - (2a\V-) 2 ~~ 1.
Nous sommes d&s lors ra~mein.s an probl~me graphique
connu qui consiste 'a mener une tangente a une parabole par
un point donn6.
EXERCICE. - Prouver que chacun des points est ext6rieur
aL la courbe.
11 restera a Qbtenir graphiquement les points de rencontre PI
(discut~s a la Xx~e solution) des quatre tangentes, et deux
suffisent, avec le cercle de centre 0, de rayon 1, pour en d6duire
les droites OP,, puis les droites de Pappus elles-memes.
Observons qu'apr~s avoir obteun par une construction re~glecompas l'angle d'inclinaison sur Ox' d'une tangente de pente in',
racine de y (n'I2) - 0, on se ram~nerait aL un antre probl~me
classique sun les tangentes. Et e'non~ons en dernier lieu une
nouvelle propriWt de (Pl).
The'oreme. - Les projections de 0 sur les cto~s non parall'les
et les dinagona-les du trape'ze dle Pappus soiit en ligne droite..