Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION 163
pr6f6rence toute introduction de radical et, d'ailleurs, appliquons le nouveau procede a la recherche de l'enveloppe d6ja
trouv6e.
Nous avions a la XXIe solution les trois relations
1 X - - -- 12 1 2 X I l22, a2x X 12at
(t, v remplacent X1, i2).
Eliminons X et 12, il vient sans ditficulte
a(lt2 _- 2) -I- v/2 = 0,
et d6sormais on prendra l'enveloppe de ux' -- vy' -+ et
mieux de (ux' - vy' -- 1) (ix' - y' - 1).
Dans le systene xOy le calcul se r6duit davantage.
Nous avions a la XXIIe solution les relations
12uV =- 1, 12(2 +- c2) X l2(t - ) ax.
I1 suffit de multiplier en croix les deux dernieres pour tomber
sur f2.
Passons a t'objet propre de cette note et faisons varier
uniquement a.
Dans le syst6me x'Oy' l'addition des deux premieres relations
produit f/(u, 2v) = 2((C2 - 2) -- 2 0.
Prenons alors l'enveloppe du couple (ux' + 1)2 - 2y'2,
qui s'ecrira
ax' + 1)2 2y' ('" - y'2)a12 2x'a + 1-'I i
Egalons a z6ro le discriminant de ce trinome en tt, on trou12
vera y'2 - 0 enveloppe 6trangere, et y'2 x'2 _ 2? hyperbole 6quilatere d'axe transverse Oy', de longueur d'axe 1\/2.
Dans xOy, I'elimination est inutile, puisque la premiere
relation ne d6pend pas de a et donne /f 12 uv -1 -- 0.
L'enveloppe du couple (x.. - vy -- i)(vx -- ay -- 1) en
12
tant que trinome en u -; - conduit a xy ---
EXERCICES. -- 1. Reconnaitre la Imnme hyperbole et la
retrouver en 6liminant ll, (, w entre /2 0 — (ou 1 — 0 ) et
df df, c lf1 diz,.fl d/2
dut d e d v cl ' dw dw'
apr6s avoir ecrit f/ (ou f1) sous la forme 12v +- w2 (ou
ux 1- cy -- w), w figurant une variable d'homog6enit6.