Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

Nous 6noncerons la propri6t6 remarquable suivante:
Theoreme. - Les cotes non paralleles et les diagonales dat
trapeze de Pappus enveloppent lne parabole quand 1 varie.
On se rappellera a ce propos la parabole de grandeur constante
mais de sommet mobile circonscrite a (P1) et on la comparera
a la parabole actuelle, que l'on dessinera.
Variante. - L'enveloppe peut.s'obtenir avec la forme
+Ix - 2y +4 1 et mieux /f - ux + vy -- 1 oil, en se rapportant a la XXIIe solution, on doit 6crire
4 au = - 4- \/. -- 8a2L2 + \/2(1 + 4a2L2~ V\/ - 8a'2L2),
4a = —1 -+ E/ - \/
On en tire 2a(u + v) = - 1 + \/1l - 8a2L2
et - 2a2L2 = a2( + V)2 + a(u + v-),
puis (4aZ 4- 1) (4av -- 1) -- -1- 16a2L2 + 2 z/il - 8aL2,
et f2 a(a2 - v2) +u - + - 0.
Associons a ux +- vy + I la forme symetrique vx -- uy - '1
et recherchons l'enveloppe du couple
(ux +,y + 1) (,x +- uy + 1),
qui se formule (a y;2-+ 2)Xy t- l(X2 -- y2) — '(u + 9) (x + y) - 1.
Or 2au =-(u + 4 )2 - (112 4+ 2) - (a t- 9)2 -- Ua
et le couple devient
a(x2 +- y2) (Z + V)2 -- [2a(x - y) - ( y)2] (U 4- V) - 2a.
Traitons ce trinome en Lu +, comme ci-dessus le trinome
en u. Son discriminant 6gale a z6ro nous donnera, en outre
de (x- y)2 = O, (x - y)2 -- 4a(x -- y) =- 4a2
EXERCICES. - 10 Reconnaitre la menme parabole et la
retrouver en eliminant u et v a l'aide de
df, df2 dl df 2
du d u dv 'dv'
20 Expliquer la presence de l'enveloppe 6trang6re y'2 0
ou (x - )2 = 0 (en tant que lieu de points doubles).
VIII. Enveloppe des cotes de (P1) quand a varie. - Nous
pourrions imiter les proc6des op6ratoires que nous venons de
r6aliser ou de proposer en exercice en faisant jouer a a le r6le
du parametre variable qu'il s'agirait d'eliminer. Evitons de