Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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VII. Enveloppe des cotes de (P1) quand I carie. - A la
XXIe solution, )xX' 4+ 2y', 1 d6signait soit un cote oblique,
soit une diagonale de (Pi). Posons pr6sentement >.. =.,
X2 = et rappelons qu'on avait
al2 ( 2(- -r sV /12 —Sa2), X-= 21 \ 4- 4a2 -z\/12-8a2.
Cherchons une relation entre it, ( independante de I. Posons
egalement - L. II vient 2at\/2 + i — 1 /i - $SaL2,
2av = \ 4- 4a2L2 z- e\ 8a2Lj2,
d'oi l'on tire a(u2 + (2) + u\ - 0 (1).
Or la droite variable ux' + vy' + 1 =0 clont nous chercherons l'enveloppe, prend la forme
ux' 1 ]. +~ - 2 - 0,
ou (Jx'2 + y " 2)"2 - 2 + - t I - 0,
par 6elvation au carre, ce qui adjoint a Ix' +- y' -- '1. sa
symetrique ux' -,y' -1 rIelative a Ox' (de meme enveloppe
que la premi6re droite). Mais on sait (2) que pour obtenir
l'enveloppe d'une courbe d6pendant par un trinome du second
degre d'un parametre variable rt, il faut annuler le discriminant
du trinome. En outre de y'2 = 0 on aura
y2 -. 2a/2 x' + 2a2,
c'est-a-dire une parabole de sommet d'abscisse -72-, de para2
metre a\/2, de foyer 0, de directrice la perpendiculaire en A
sur OA.
EXERCICE. -- Poser
fl(u, V) = ' 1 i — y' i., f(a,,2 ) = a( c22 T 2) + i\/2
etei/e -.- etfl d cl/ Icl
et 61liminer u, o entre /1 0,12 =0 et d -- d 2 di, (3).
da di dV de

(1) tquation tangentielle de la parabole enveloppe.
(2_3) Cf. La Science du raisonnement.
MAROGER. - Probl. de Pappus.

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