Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

160.

DEUXIEME PARTIE

ou 2( --- 1)2(1 - r2) = (- - 1)2(r2 - 2 r-/r2 — 8),
et finalement 16(1. — r2) [n4 - r2n3 -- 2(1 -- r2)n2 - r21 + 1]
= 16(1 —. rz2)/(Jz) = 0.
Note critique. A la v6rite, ce mode r6solutif se rapporte i
une forme reciproque An74 -i- Bn3 -+ C?2 + Bin + A dont les
coefficients valeni a2, - 12, 2(a2 - 12). Is son-t soumis a
la condition C = 2(A - B).
Eut-on pris la forme 7z4 -, Bl'13 C1,,2 -'- Bjn -i- 1, qu'il
eut fallu poser, B - - r2, C1 -- 2(1 - r2) et d6duire
2B, + C1 = 2.
Quant aux racines, on saura les 6valuer i l'aide de A, B ou
de B1.
Le syst6me des coniques intervenu a titre auxiliaire pour
obtenir les coordonn6es utilis6es se formulerait par exemple
x2 - y2 _= _ B, xy == /A (x q- y),
ce qui impose B < 0, A > 0.
EXERCICES. - 10 Traiter par ce proc6d6 l'6quation eh m
(ou en t) de la premi6re solution. On fera appel it des expressions
variees de x, y.
20 Reprendre les relations homographiques entre m, t, m', t'
et en d6duire de nouvelles 6galit6s bi-irrationnelles.
VI. Dimensions de (P1). - Les bases et la hauteur ont 6et
ant6rieurement d6sign6es par 2B, 2b, 2h. Les pentes n' expriB b b -— B B +b
mees avec ces dimensions deviennent B - b b B B,
2h 2h ' 2h
B- 2 —. Evaluons en tenant compte de ((n'2) la somme et
2h
le produit des deux valeurs distinctes de n'2. I vient
(B -b)2 (B + b)2 B2 + b2 r2 - 2
4h2 4 h2 2h2 1 + i2'
(B - b)2 (B b)2 (2 - b2)2 1
4hh2 -/2 16h4 1 + r2'
On en tire
B2 + b2 _ 3 3(B2 b2)2
2h2 1 2 164 7
ou /(B,b,h) =3(B2 b2)2 q- 8h2(B2 + b2) -16 14 0,
relation caract6risant un quadrilatere de Pappus et etudiee
dans une digression anterieure.