Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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de sa r6solvante en n +- dont les racines sont
I -+ sV12 -8a2
2a2
fournit
t = - l(2 + 1 -12 Sa2 + S'V2\ /14-4a212- 8a4 -l 13 - 8a2)
On pourrait transformer le radical compos6 en une somme
alg6brique de radicaux composes, la quantite A'2-B' se
reduisant a 64a6(a2 + 12).
Mais ayons surtout en-vue d'exprimer la pente n a l'aide des
coordonnees de deux points P1, par exemple P1 et P', resultant
du systeme x2 + y2 = 12, y = ( -+- y). Si l'on revient a la
XIIIe solution oiu se trouvent les coordonn6es de P', on saura
les completer par celles de P1, qui seront
a (1i ~\/1 r2-_ J2- 2-2 2 V 2), 2 \ \
Done
2\/1 +r2 + -- 2 -2 —2 V\1 +- - 2 - 22 + 2 \2i + r2
2 +r2- \/r2 - 2 - 2 \/1 +r2 -r /-2-2 +- 2 \1 — r2
Discriminons les quatre racines syrmbolisees avec C, '. La
r6solvante en a ou nz -, et rieux sa transformee en-, qui
n a
est 2 -- - - -0, montre que pour r =o on a - 6 -02 CT r2
et = 2. Par suite, la grande racine, telle que s + 1, de
la r6solvante correspond dans ce cas particulier au couple des
diagonales de (Pl). Par raison de continuite il en sera ainsi
quel que soit r2 (au moins 6gal a 8). Le couple des cot6s obliques
de (P1) r6pond par contre a =- -1 et, dans ce couple, P1P1
dont la pente est inferieure a celle de PP'' correspondra a
-' — I.
EXERCICES. - 1l~ tcrire 1'egalite bi-irrationnelle traduisant
1?equivalence des valeurs de t.
2~ fttudier de meme la pente de P1P'.
Reciproquement, la valeur fractionnaire pour n xerifie (An).
En effet, on aura
2(n - 1)\/1 t r2 ( A — 1) (\/r2 - 2 -r 2\/1 + r2
- r2- 2- 2\/1 -+ r2),