Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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equation r6ciproque. On voit aisement quelles valeurs de n
r6pondent a m 0= et a m =.
Enfin, d6gageons une derniere propri6et de (P1) de la forme
de l'equation r6solvante relative a
f(n) = a2n4 --- 12t3 - 2(a2 + 1/2)n2- 12- + a2.
En posant n + - o, on trouve a2 2 12 C+ 212 = 0,
d'oi l'on deduit l'6quation en - 2( ) -- + = 0.
i
On constate d6s lors que la somme des racines en -reste constante.
'I 1
Th6oreme. - La somme - + ---- ormee avec les
n1 + n2 n3 + n4
pentes n, n2 des diagonales et n3, n7 des cotes obliques de (P1)
vaut constamment I lorsque ce quadrilatere (P1) se dceorme.
EXERCICE. -- Etablir la relation
1 1 1
_ I]
n + 1n2 123 + 124 rI1 -i- M2- m3 -r m4
entre les huit pentes n et m. Remplacer ensuite n7 et m en
fonction de n' et m'. Etablir
(n1 + z ) (723 i+ n) -- 2(m, + m — ) (m3 + mn).
II. - Sur un mode de resolution d'une equation bicarree. -
L'6quation c (12/2) (a2+ 12),2'4 - (12 - 2a2)n7 2 — a2_ 0 r6solue
commun6ment fournit
z'/ -- ~l 2a2 - 2 ljl2 - 8a 2
2 (a2 + 12)
Proposons-nous de calculer n' en envisageant ce nombre
cormme la pente relative a Ox' d'une quelconque des quatre
s6cantes communes au cercle x' 2 + y2 = 12 et a l'hyperbole
x'2 - Y2 = 2a\/2x', definissant les points P1.
Exprimons la pente positive de PP'il, a la facon ordinaire,
par le quotient de la difference des ordonn6es et de celle des
abscisses des points P1, P'. Ii vient
- -/12 - 2a2 _ 2a\/a2 12- /l2 _ 2a2 + 2a 12
12/a 2 +
2~/a0, ~