Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

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Thei'ore'me. Si apec un cotW de triangle ~qilaiitral corine
diagonale on construit an carre, les ciroites joignant les deux
Fig. 13.
noucoeaux somninets dli carr96 aux, points d'intersection de la diagonale et des parallhfes aux c~ts issues d-ai centre da tranle sont
paraile'les aI detix cot~s de ce trianle.
Revenons a lI6quation c?(n'12) -0 donnant A la XXIVe solution les pentes n' des co't~s obliques et des diagonales de (P1).
On peut lc'rire 12 _ (n'~1)
a2 n/2(1 n'12)
Mlais dans la H~e solution les pentes rn' des droites de Pappus
6taient lies par. t(l'2) 0, dont la forme fractionnaire se
f ormulait 1 m'2t' i- 1
8a2 - (In'2 - 1)2
Oil n d~uit (pjI2 1)2 8ni'12(mn2+1
On en d~duit n2(1 -n122) (nt'2 - 1)2
perm ettant d'obtenir nt' en fonction de MIn' et vice versa, Falade
d'une equation bicarr6e. Entre.autres, quand rn'2 tend vers 1,
auquel cas 1 tend vers l'infini, n'12 tend aussi vers I on alors
vers 0. C'est dire que les diagonales tendent a s'incliner A 450
sur Ox' pendant que les cotUs obliques tendent aL prendre la
direction de Ox'; en de nouveaux ternies, le trapeze isoc6le
(P1L) tend vers la forme du carr6 (ii oscilile entre le triangle
equilat~ral et le carr6).
Il convient d'assurer ces dernie'res assertions par la variation
continue do la pente n' consid~re commie une fonction de 1.