Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIE~ME PARTIE

Examinons l'un d'entre eux, par exemple pp'p'p", et calculons ses dimensions. Sa petite base 2b vaut pp', ou
OP/ -y - 2t9
op ~2 - ~2 tl
Sa grande base 2B vaut
p"p "' Op \/2.. / i2.
Op 4- Op"
Sa hauteur 2h vaut. Entre ces trois dimensions
~2
existe la relation simple 13 — i- b - 2k:.
EXERCICE. -- Prouver que OPF rencontre pp" en son milieu
et que les milieux des c6t6s sont les sommets d'un carre.
Reprenons P' et ses coordonn6es: on peut les formuler
1 1
x- l -- L,' y l -- L. Celles de P' seront les minmes en
'1 -i- 11 12
ordre inverse. Cherchons celles de Q1, point commun "i p",",
t"p'" situ6 sur l'axe Ox'. Soit par les equations de p",'" et
de Ox', soit par des triangles sernblables, on obtient ais6ment
i 1.
-. 1 -. Pareillement, pour le point commun
11 + L1' -i — L1
11:1
de p-', 7p ona L,- --. On en conclut que Q1P Q2PY
d, l " —' 1 2 i2 Q-Q2
constitue un carre construit sur la grande base de (P1) comme
diagonale. D'ailleurs P, P" etant les milieux de M'A N1, M''N'
les points Q,, Q2 joueront le r6le de centres dans les carr6s
construits sur OM1, ON' et OM^', ON'. Par une voie analogue
on montrerait que Q, point commun a pp'p'p".et Q4. commun
a T, W-,''", prennent les memes coordonn6es que P1, P[ et
par suite que Q 3PiQ4P constitue le carre admettant pour
diagonale la petite base de (P1).
EXER1CICES. --- 1 Que sont Q. et Q4 relativement a N\1]N1
et M N'?,Le trapeze isocele N,~l'"lN'Ml1, comment est-il plac6
par rapport a pp'p"'p" et a nr 'rW"''" '
20 Evaluer les rapports d'homoth6tie des trois trapezes
ainsi que leurs cotes.
Le point Q1, pour fixer les idees, peut a son tour jouer le
meme r6le que A1 (ou que A) en ce sens que 1'on peut conduire
par Q1 quatre segments de Pappus, paralleles h ceux qui relevent