Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

4 ~~~~PRELIMINAIRES
Proposition (1) (r~ciproque) IX. - Si une 6quation, pouI &
vant admettre la racine - I on -1- 1, posse'de la racine. -, ~
qu'elle posse'de ac elle est rdciproqne dui premier genre.
En effet, le premier membre se dGcompose' en facteurs de
forme r6ciproqne
et apparait comme 6tant lui-me'me r6ciproque (proposition III1).
EXERCIC'E. - Raisonnons plus directement et d'abord sur
nne 6quation de degr6imar ax3 ~ bX2 -i-b~x I a, 0,
par exemple.
D'apris l'hypoth6se, elle est 6qnivalente Asa transform~e
en,.c'est-d-dire A a.x +~ bix2 —xaz
x
Les deux 6quations, ayant me'mes racines, ont leurs coefficients proportionnols, A savoir a = - b1 __ a I
a1 b1 b a
Les apprtsa b 6ganx A leurs propres inv~erses, ne 'euvent
e'tre que I on I isol6ment et, comme uls sont 6,ganx entre
eux, on en d~duit
a = al, b - b., on azz-aP, ~ —b1.
Raisonnons ensuite sur a4 + bx~+c2~bx + a1 0,
I,
dont la transf orm~e en s, crit, une fois rendue entie're,
x
apr +b~X3 ~ cx2 +bx +-a -0.
Les conditions d' 6quivalence donnent
a b c b1 a.
aI b1a'
Si premi~rement c ~ 0, on voit que a =a,, b b1.
Si denxi~mement C 0, les conditions se r~dnisent A
a b b1 ~~ et conduisent, soit an type (I) simplifi6,
soit an type (II).
()Puisqu'il s'agit d'une r6ciproque portant sur 1'6quation r6ciproque, le
maitre, dans son enseignement oral, pourra plaisamment faire remarquer h
ses 6le'ves cette association de mots. Si, oubliant aver intention le substantif,
'ii demande Quelle est la raciproque de la r6ciproque? ), il provoquera,
aussi bien que l'6nonc6 actuel, la r~ponse d'ordre log-ique C'est la directe
comme ii pourrait provoquer la r6ponse (C'est la re'ciproque ), s'il s'agissait
d'une proposition directe comportant deux r6ciproques, par exemple