Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

TREINTE ET _UNJEME SOLUTION'7

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Par identification, nous obtiendrions d~eux relations entre les
quatre parane'tres des s~eantes. Pour les eompl6ter nous ne
pouvons cette fois recourir au syste'me auxiliaire parallele
aOy (ou aL Ox), puisque l'identification correspondante, portant
sur deux formes generales biquadratiques, se suffirait a elleMeme et ren.drait la premniere inutile. D'ailleurs nous avons
con-stat6 qu'e'lle conduisait a des calculs inextricables. A-ussi
nous adresserons-nous a un th6or~me 6tabli plus haut et donnant la surface 12 des triangles cons~titu~s par les s~cantes et les
axes XX, yiy. Au surplus, 6viterons-nous de former le f aisceau
OP1 dont les coefflcients d6pendent des param~tres d'une facon
assez compliquke et, v'u que les s6cantes sont diseriminkes, en
profiterons-nous pour discriminer isohlnment les droites OP1.
Deux d'entre elles nous suffiront.
Choisissons P' 11x -Ly I et PPT', 1,x - Lly - I.
En additionnant ii vient
(1- 10,)x - (L1 I+-LY
qui repr6sente OP', die peute 11 + 12
Choisissons de m~me P'P' et P PK L~x-iy+I
Par soustraetion on a (L,, - i,)x ~ (L2 - 12)y, repr6sentant
1' ~~~LI 19
Or le f aisceau hornog~,e 0P,, d6duit des lieux initiaux
de P1, r~pond ala forme.
a2l4 - a2t3 (9a2 - 12)12 - 2a2 -_ a2.
Nous savons en discriminer les racines apr~s rdsolutiou de
sa r6solvante en I nous trouverons pour les pentes
de 0P, OP'~ les nombres
I
-(~V'2+12 —\/ 12 22 — 2a2 + 12),
12 -(a\,a /,2 \//2 -22 - 2a~2 12)
2 a
De sorte qu'on aura d'abord les %quations
z+ 122