Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

TRENTIEME SOLUTION

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le systeme biquadratique concourant' en O. En effet ce systeme
proviendrait tout aussi bien de l'ensemble des s6cantes qui
aurait subi une homoth6tie arbitraire de centre 0, et rien ne
permet d'affirmer a priori que les quatre parametres a calculer
appartiennent aux secantes veritables plutot qu'a leurs homoth6tiques. Nous devrons d6s ]ors compl6ter d'une facon ou
d'une autre les 6quations r6solvantes par deux autres.
Adoptons x'Oy' et reprenons les notations des secantes, discriminees initialement, de la XXVIIIe solution. Leurs formes
rendues homogenes, grace a une variable d'homog6n6ite z,
sont
G'2z2 2n'G'x'z -- n'2x2 - y'2, g z2 - 2Ng'x' N 2 -- '2
Formons leur resultant, posons t' et simplifions, il
viendra
('f2 - g'2)2t'4 - 2(N'G' - n'g)2(G'2 -- g'2)t2 + (G'N' — g')4
Identifions ce faisceau' avec celui qui provient des lieux
fondamentaux de P1, a savoir
2t'4 2(12 + 4a2)t'2 -+ 12 - 8a2.
On aura
(G2 g2)2 (N'T - n'g')2(G'2 2- g2) (G'N' - 7Zg')4
12 1.2 + 4a2 12 -8aa2
Completons ces deux 6quations par exemple par celles
qu'avait fournies l'identification du couple droit et reportonsnous a la suite de rapports (1) qui en d6rivaient. On en tire
2 2 1_2 + 4a2/ G'2 - 2 2 12(12 I 4a2)
12 + - g 2(a2 + 12)
puis successivement
/l~812 -/l288
//2 Q/2 ____ =_ 12 / 72 8a2
G'N' - n'g' + g= 2( 1v g')
V 12- 4/2 +/2(a2 4a.2
2 _ g2 2(a2 + 12) \/12-8a2.
Les inconnues ', g' seront
G' 2 /12- + 4a 2 + 1/12 - 8a2
g, 1 f l/2 + 4a2 /2 8a
MAROGE - 2Vr-i —d Papps —1.MAROGER - Probl. de Pappus.

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