Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT-NEUVIEME SOLUTION 1.43
1- n' '1 -.n'
-G'V2- x- G-2 y -+- 1 = 0. Par cons6quent, pour tomber
1 -- 7'
sur L1x 1- y ' — 1 0. on doit prendre L,
1 4- tn'
12 - De meme, en examinant PP", on trouvera
I + - N' I - N'
I _y, 11 1
I 1 4 ---, l l..
g'V2 g/2
Ainsi les expressions definitives cherch6es dependent homographiquement des pentes et des ordonn6es a l'origine relatives
a Ox', Oy'. Par exemple, on ecrira
/2(a2 - 12)- v'2 2a2 \/12 -8a2
1,= — -, - 2
\/ (a2 +-1)(12- 2a2 +lxl2-8a2) - a\/ l2-2a2 ---ll/- -8a2
EXERCICE. - Calculer 111 - ou L21 et retrouver,1
2G,2I ou. L et retrouveri,1
E C e 2 2G'2 12G':
ce qui confirme le theoreme que nous avons enonc6 touchant
l'6quivalence des triangles formes avec chaque s6cante et les
axes xlx, y/y.
Note. — Pareillement, les expressions de 1l, 1, montrent que
l'on a nt' < 1, N' < 1, ce qui avait donn6 lieu a une proposition relative aux pentes des c6t6s et diagonales de (P1) rapport6
a x'Oy'. Quant aux conditions, d6ja posees, 1, > 0 et I1 > 0,
elles resultent d'un simple examen de figure.
I1 reste a calculer les coordonn6es x, y de P' pour fixer les
idees. Rapprochons PTP' et P P'K de formes lx - L2y + 1 et
L x - ly -- - 1. On en tire
/. — 1 _______
I /)' /12-2 12 — L ll. 2
L 4L.. - /112' LJL2 -- 1112
qui conduisent a des valeurs irrationnelles particulierement
complexes si on remplace isolement 11, 1l, L1, I12 par leurs
valeurs. -Mais on peut de pr6ference revenir a n', g', N', G'
on obtiendra ainsi
_ G' - g' N - - G-'-g' --?N'g',- _ zTrT /r. y-T
I i }[. N ~T f \,,e N. T

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