Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

XXIX' Solution
Methodologie. - Si nous tentons de calquer la solution qui
pr6cede, mais en adoptant les axes Ox, Oy, nous constaterons
que l'identification au lieu de s'op6rer en deux 6tapes se produit
en une seule fois et conduit a des calculs inextricables. Aussi
tournerons-nous la difficulte en revenant, plus ou moins ouvertement, a des r6sultats ant6rieurement acquis. De ce fait ]a
qualite de cette solution en sera amoindrie.
Discriminons aussitot les secantes. Les formes de P P'
et P P'"' seront l1x - y Ly 1, L - y —1 avec 1I > 0,
L2 > 0. Celles de P]P'P' et PJP". seront l2x L1y 1,
Llx-12y -H- avec L >,11 L2 > 12.
Leurs couples se formulent
L2l{(x2 + y2) (L2 + l)xy -- (L2 -l)(x - y) - '1,
Ll2(x2 +?y2) -(L + tl)xy + (1, LI)(x + y)
Ordonnons par rapport a y, en vue de l'eliminer ensuite;
il vient
1i2lly [(Li H- '2)x + 11 L2]y + L2l1x2 -+ (L2 - l)x ----,
L112y2 - [(L +- l) + LI - 12]y -- J12x2 + (12 - ])x -- 1.
Eliminons y a i'aide du r6sultant, on a
{[/1/(L1 -H- L2) - LL2(l -r 12)]x + 1 112 l- L2 2
[(L1L2 1112) (iL11I — I22/)x L1L2(l1 ~- 12) -~12(Ll -i- L2)] >~
(L1L2 - ( 2) (L212 - L11)x3 4 [(L1 -- L2 -+ 11 - 2)
(111 - LL2) + L212(L2 - 2) - L(L - 11-)]x2
+ (L- 12 + 12 _ l2)X + L, + L2 (1- (I + 2) J
I1 resterait a identifier cette forme d6velopp6e relativement
a x avec la forme du syst6me rectiligne biquadratique contenant
les points P1
x - 2ax3 -- (2a2 - 12)x2 -i- 2al2x -- a22.
Abandonnons cette identification par trop improductive et
recherchons les inconnues auxiliaires 11, L1, 12, L2 au moyen des
inconnues a', N', g', G' trouvees dans la solution pr6cedente.
x - -y x --- Yf
Les formules de transformation x' -- y' - -- --
2cngO de P 2
changent l'6quation y' - n'x' ---- G' 0 de P1P' suivant