Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT-HUITIIAEME SOLUTION

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XXVIIIe Solution
Methodologie. - Nous ferons intervenir des le d6but les
quatre s6cantes, c6ts et diagonales de (P1), en introduisant
quatre parametres convenables que l'identification d6eterminera
au fur et a mesure du d6veloppement des calculs. Les coorldonnees des points-solution, consid6r6s comme a l'intersection
des secantes prises deux a deux, apparaitront en dernier lieu.
Mais pour simplifier les op6rations (forcement longues, puisque
nous choisissons explicitement quatre inconnues auxiliaires
dont dependront les coordonn6es des points PO), nous utiliserons lespentes et les ordonn6es a l'origine des secantes. En
outre nous discriminerons ces droites prealablement.
Dans le systeme x'Oy', le cote PP'a a pour forme y' - n'x' -- G
aveec ' > 0, G' > 0; le c6t6 PPP' a pour forme y' - n'x' t- C';
les diagonales P P', P'P' seront y' - gN ' y' — i- N' - g'
avec N' > 0, g' > 0 et les conditions N' > n', G' > g'. Les
deux ensembles de secantes se formulent
y '2 = (In'x' -- ')2, y'2 _ (NX',,.)2,Le couple droit 2x'2 - 2a\'2x' - 12 devra r6sulter de l'elimination de y' entre ces deux equations: elle produit
(n':'x' -G')2 - (N'' - g')2,
ou (N'2 n'2)x'2 - 2(N'g' i '.' ).t' - g'2 - '2 = 0.
Iine premiere identification fournira
N'2 - ln'2 N'g' n'G' G'"2 g'
2 a/2 /2
M\ais on sai t de trois rapports arithm6tiques 6.gaux -I1 a -2
_______~_____ ~ ~b1 b2 k 'b3
tirer un rapport 2/ a + aa ' de m,'ne valeur. IlnA appliquant
ire rapport Vb,2 -- hb
ici cette propriet6, on tirera le nouveau rapport
\/(Ng ' - n'G')2 + (N'2 '2),('2 g~2) N'G' n,'g'
0 U
2(a2 + 12) \2(a2 - 12)
6gal aux precedents. IDsormais on aura sulccessivement
(~4~~~~), ~ ~ ~ _.
(N' - (N )_ N' '' ( g)(G+g')
2 a\2 2
N'G' -- n'g' _(N';-')(G' g') (N' -- ')( g')
/2 (a2 ( / 2) /( \ a2 2) 2 a)