Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

PRtLIMINAIRES

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EXERCICE. -- Se servir plus elegamment de l'quation
obtenue en prenant la d6riv~e du premier membre. Revoir A
ce propos un th6or~me relatif A 1'hypothe'se oui un nombre cx
est racine commune A l'quation f(x) - 0 et AL l'6quation
de'riv~e f'" (x) ==0.
Proposition VII. - Lorsque, dans chaque 6quation, le
coefficient a tend vers 0, une racine tend vers 0 et une autre
vers 1'infini.
On compli~tera cette propriWt -en faisant tendre simultan~ment a et b vers 0, etc.
Arrivons enfin A la proposition fondamentale A laquelle est
empr unt6e la denomination de r6ciproque:nous lui donnerons
toute son importance en la faisant suivre de la proposition
riciproque.
Proposition (directe) VIII. - A toute racine x d'une
6quation riciproque de premier genre correspond la racine
inverse ()x
Nous compl6tons cet 6nonc6 en ajoutant:la racine - I
ou +i I se correspond A elle-me'me en taut que racine simple,
mais peut figurer 6galement au titre de racine double, triple, etc.
En effet, x 6tant diff6rent de 0 et de l'infini, puisqu'on
suppose implicitement a:7~ 0,. l'quation enti~re propos~e
/(x) 0O est 6quivalente, comme on sait, A 1'6quation fractionnaire AX 0. Cette derhi~re s Uirit litt6ralement f(y) =0,
ofiiy -,quand on commence a ecrire par la fin son premie~r
membre chang6 on non de signe.
Exemple aX3 + bX2, bx - a 0 devient par transf ormation
ax3 4- bX2 - bx -a
a +-by -by2 - ay3 0,
et, aprds changement de signe, ay3- by2 - by - a -0.
Cons~qaence. - 'Comme x ne vaut - que 51 x - -J- 1, nous
voyons qu'une 6quation r~ciproque qui ne poss~de plus la
racine -I ou -&I sera de degr~ pair, les rac'ines se groupant
deux A deux en nombres distincts et inverses l'n de l'autre
pour chaque couple.
(3) On clisait aneiennement r ciproque.