Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VITNGT-OUATRILEME SOLUTION12

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d'oii Vlon tire A'- 2?), A' remplaeant?, relatif ~h xOy. Par suite,
/()-a2 A'2 + 12 A' +2 212 /(2?,) 42 )2 1v2lX ~ 12
EIXE RC I CE.-Que deviennent les param~tres Xn,?X2 quand
on pa-sse du syst~me eoordonn6, x'Oy' an systme xOy?
XXIVe Solution
MV[khodologie.- - Noavealtmrodeditproc~(,dK' 'identtificationl.
Soient deux coniques f1ix, Y), f2(x, y). Essayons de determiner
une conique particulie're /3(x Y) passant par leurs quatre 1)oints
communs sans recourir it in forme f, +.- )42. Exprimnons dans ce
but. que les deux syst46mes 11 0,/ - 0 2 - 0, - 0,
possitdent les mn'mes solutions x, y. Quelques difficult~s se
pr~senteront. Si nons d1irinons y, par exemple, nous obtenons
les faisceaux parall~es,i Oy de fornies respectives F,(x),
F,() Enepiant qu'ils sont identiqus par 1'identification
des quatre racines de F1_- 0, F2 0, on obtient quatre
relations entre les cinq para~m~tres de f3, de sorte qu'on pourra
choisir arbitrairement un de ces param~tres, on 6tablir, si l'on
pri~ire, une cinquh~me ralation entre eux. Pour fixer les idies,
raisonnons su~r une parabole 13 ne contenant ditsormais que
quatre param~tres. L'identification r~alisite ne suffit pas. En
effet, rien n'indique que pour une racine X appartenant it F1,
F2, 1'ordonn6e correspondante Y soit la me'me dans les deux
systitmes, puisqu'au demeura~nt pour un meme svstitme ii y a
ambigu!tit dans. la recherche de Y selon qu'on utilise pour son
calcul. l'nne on 1Fautre des equations de ce systi~me. Aussi
devra-t-on exprimer, en neme temps, que les f aisceaux para11~les
itOx,7 aprets elimination de x., sont identiques, on mieux que in
racine commune Y1, entre 11 - 0, 13 =0 (voir autirienrenment
la m6thode de in racirie commune), est in m'me que in racine
commune Y2 entre 12 et 1.Mais toute difficultit disparait dans
les circonstances favorables que voici. D'abord les coniques/,
12pr~sentent un axe de sym~trie Ox. La conique 3,soit une
parabole, poss~dera cet axe de sym6trie A. to ute valeur de X
(et ii n'y en a que deu x mais doubles, racines de F1 on F2)
correspondent deux valeurs Y et - Y qui seront les mn-'Imes
dans les deux sysbmes;si on a 6limin6 1'abscisse de pr~fi~rence,'
on voit qn'it tonte valeur de Y (et ii y en a. quiatre mais opposees
deux. i deux),!correspond une valeur unique de X prise dans la
IA-RoGEn. - Probl. de Pappus. 9