Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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P R E LI TAI I IN AIRES

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Voidi une s~rie de propositions generates relatives aux divers
types.
Proposition I. Les 6quations du type (I) et (2) adme'ttent respectivernent pour racines -II et + I.
Pr-oposition II.- Les 6quations du type (II) admettent
A la fois pour racines. I et -i- I.
Proposition III. -Multipli6es membre a membre, ces 6quations fournissent des 6quations r6eiproques 6galement et qui
admettent commun~ment pour racine soit. -I soit + I, saul
dans le cas oiP on ninitiplie des 6quations dii type (I).
Exemple:
(aX3 ~ bX2 ~bx ~a) (a'X4+ b'x3 -- b'x -a') - 0,
on aa X7 ~ (ab' -i-ba')xp- ~ b(a' ~ b')x,5 -(aa' +bb' - ab')X4
(aa' -q bb' - ab')X3 - b(a' — b')X2 -(ab' -& ba')x -aa' 0.
En particulier une 6quation reste r6ciproque si on la nmnitiplie
par un des facteurs r6ciproqnes x - I, X +,X2
Proposition IW. - Une dquation r6ciproqne qui admet - I
on ~ 1 pour racine res'te r6ciproque quand on divise son
premier membre par x ~ I on X - I.
On s'exercera A justifier cette propriet6 en effectuant les
divisions indiqubes. On pent aussi la d6mo'ntrer par l'absurde.
En effet, le quotient doit avoir la'lonme re'eiproque, sinon une
fois mnltipli6 par x + I on x - I, on ne reprodnirait pas la
orine r~ciproque propos6e.
Mais il parai't plus 6l6gant de grouper convenablement. les,
I 'I
termes et d'utiliser les quotients bien~connus
X~
Exemple: aX3 ~ bX2 + bx + a aWx + I) ~ bx(x ~ 1)
divis6 par x + 'I donne a(X2 - X + ) + bx.
EXERCICE. - RWduire l'quation. du 6e degr6 du type (II).
On ponrra poser x2 y.
Proposition V. -Toute 6quation d'un des types (I), (2), (II)
se ram~ne an type (I), pourvu qu'on la d~barrasse par divNision
de la raeine - I on -1-I.
Proposition VI. - Une 6quation du type (I) pent admettre
-I on + I commie racine,7 mais, en taut que racine double,
quadruple, sextuple, etc.
Pour le 4e degr6 la condition pour que I soit racine sera
2a + 2b ~ c 0 et on s'exercera a prouver que le quotient
par x - '1 admet A nouveau la racine I.