Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEME PARTIE

Theoreme. Les cotes obliques et les diagonales dui quadrilatere de Pappus determinent acec les cotes de l'angle croit primitif
et leurs prolongements quatre triangles ayant mmem surface.
On justifiera cette propriete et on observera que la surface
demeure invariable lorsque A se deplace sur la bissectrice.
III. - I1 existe des relations simples entre les racines des
diverses equations en X. En effet, rapprochons les identites
pr6ecdentes se rapportant a x'Oy' en nous rappelant que X?, 2X
prenaient integralement les memes valeurs, fonctions de c, 1.
On aura - l2(x1x' + x' - 1) (1x' - XY' + 1)
-x 2 + y,2 _ 12 + (x'2 y2 -2a/2x')
2x'2 - 2aV2x - 12 + A(x'2 - 2 - 2a\/2x').
Pour 6viter toute confusion nous avons mis A au lieu de,x
dans la deuxieme combinaison /1 + X/s. Une nouvelle identification fournira
1 + X = 2 4- A, 1 — X -- A, 2a\/2 -= 2a/2(A.- 1).
On en tire uniquement X A + l et, par transformation
d' 6quation,
/(X) -2a2 2 + 1X + 2 /(A + 1)
2a2A2 + (12 4a2) A - 2(a2. +- 2).
Rendons-nous compte de ce fait un peu autrement. Le couple
droit 2x'2 2a/2x' - 12 repr6sentait une certaine combinaison lin6aire f1 + - /2 des coniques fondamentales oil X 1,
de sorte que la nouvelle combinaison permet d'ecrire
2x'2 - 2aV/2x' - 12 A (x'2 - y'2 - 2aV2x')
= x2 + y2 1 ' 2 - (x2 - y'2 - 2a/2x') + A (x'2 - y2 _ 2a\/2x')
et x'2 + Y/2 - 12 + X (X'2 -_ Y2 _ 2a/2x')
- X2 + y/2 - 2 + ( ) ( (x'2 /2 _ 2aV2x'),
montrant l'egalite X A -+ 1.
EXERCICE. - Examiner deux 6quations en X 6tablies dans
le systeme xOy.
Etudions enfin des 6quations (tablies dans les deux systemes.
x 4- y - x -+ y
Au moyen 'des formules Jx' - -, y' i, nous
\ /2 \/2
obtiendrons
x,2 + y'2 12 + x (x'2- y2- 2a-/2x')
= x2 -- y2 2 2 X [ y- a(x + y)]: t2 t _2 _ l2 +_ -' A[xy a(x + y)],