Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT-TROISIE-ME SOLUTION, '2

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EXERCICE. - Traiter la question en adoptant xOy.
Notes. - I. - Le discriminant des diverses 6quations
f (?X) =0 se. rame'ne, aL un facteur positif pros, a 12 - 8,
tandis que dans le s r6solvantes ant~rieures il se ramenait ah
a 2 12. Il en suit que la particularit6 du probl~me, traduite
par 1'hypothi~se l2 ~ 8a 2, doit actuellenment s'envisager au.
premier plan de la discussion, alors qu'auparavant elle passait,,
d'une faon on. d'une autre, au' second plan (1). On en voit laraison:Si [2 8 a 2 les cotUs obliques et les diagonales de (PI)
se confondent, par suite les racines en?, deviennent 6gales, et,
r~ciproquemnent.
II. - Ii en irait de me'me si, sans passer par la determination.
de ~,on 6tudiait les pararn6tres Xj, X2des couples de s6cantes
en eff et, pour 12 8-a2, les couples coincident et les r6solvantes.
en X, 'auront des racines doubles. D'ailleurs, s'il s'agit des
calculs relatifs aux figures rapport~es a x'Oyj', on constate
que X, et X sont reli~s lin6airement, de sorte que les valeurs en
gnu~nral distinctes de ces param~tres coincident en particulieren meme tens1 a2 doit done fig urer dans le discrimninant
de la r~solvante eni x. Obtenons cette r6solvante, par exempie
avec les calculs actuels. E~liminons X entre 2-v -1,
(tV2(1 ~~ zl~;on ob tient
aPV~24 + li V2 = 0,
dont le discriminant vaut pr6cis6ment 12(12 - 8a 2). On constates
'aussi que 4, et?X sont 1i~s lin6airenment, minis W t:particuiaris6, on l'a choisi positivement, de sorte que X2 e j jonent
le me'me r6}le et la conclusion pr6c~dente touchant 12 -- 8a2 -Si'applique a nouveau a la r6solvante en 4,. S'il s'agit des calcuis
se rapportant a xOy, on constate que?,, -A~-?2 se relie lin6 airement a X et que XX n'en dGpend pas, de sorte que ces trois
param~tres out simulta~n6ment deux valeurs distinctes on con-.
fondues et comnne? 2 avcI ovnin? > )X2 r~pondent
univoquement a?,?,12 Ii ensr ais pour, X,~, X.
EXEIICICE. - Obtenir Jes deux r6solvantes en X;k~ X1X2
apropos de la xxiIO solution.
Incidemment signalons ]a proprict a laquelle donne lieu la.

(1) Voir A la digression finale quelle est la Y61ritable partieularit du proWlme.