Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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'126 ~~DEUXIEME PARTIE

Identifio ns terme a terme s-ans tenir compte des termes constants dijh identlifis et apre's avoir indiqu6 que cette identit6
ne convient pas pour?X 0. II vient
2 ~ X 1 X~24 X ~12 ay'2(1 ~2 - 2
On en tire
j (x) =2a2X 2 + (12 + 4a2) 7?-v 2(a2 ~12) 0,
dont le discriminant vaut 12(12 - 8a2).
Discutons le cas unique 12 > 8a2. La r6solvante poss6de
deux racines r6elles n6gatives assurant des valeurs ri~elles A x1,_
X2* Les deux couples de sdcantes obliques seront r6els et con —
peront n~cessairement le couple droit. Associ~s. a 'hyperbole,
ils la couperont effectivement. VWrifions qu'il en est ainsi en
montrant que leurs, pentes absolnes sont inf~rieures a 1'unitU,
qui est la pente absolue de chaque asymptote, et dans ce but,?2 2 ~-
examinons la condition -< 1, on 2 > 0, cc qni est.2
vrai. Distinguons les cotUs dn trapkze (P,) an nioyen du carr6,
de leur pente 2 - 2 +-1 inf 6ieu'r aL celni des diagonales.
Convenons de l'ordre de grandeur X < XI' < 0 et concluions
2 2
+I > - +v 1. Par suite XI fournira les cotUs. Convenons de
prendre X2, X2' positifs et nons saurons distinguer l'uine de
l'antre les droites de chaque. couple.
Par exemple le point P' sera cGMMuin a
- Y H'1 21x 2~ Y' -F1
Ses coordonn~es
- X2 - X' I 'exige ront les vaje-Urs de?,7?1
(1,2 ~ a)+ 1 - aecs
7ia2 ~ ~ 1 a
de?~ ~ 0 \/12 a -iV12 ---8t2.
On 'reconnait int~gralement les expressions obtenues dans
l'avant-dernire, solution, seules les racines en?,' ont chang~.