Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXIEIME PARTIE

de rencontre, il suffit d'etablir qu'elles sont moins inclinees sur
l'axe focal que les asymptotes et par suite, comme on voit
ais6ment, qu'elles s'inclinent sur Ox d'un angle oriente (elles
sont dans ce but orient6es de gauche a droite) compris entre
0 et 7. Cela revient it dire que leurs coefficients angulaires
9. x2
d'expression — ou d'ailleurs inverses pour un rmere
X2 X1
couple, sont positifs. Or il en sera toujours ainsi, car l\l2 - 2
apparait n6gatif. Une propri6et complementaire du quadrilatere
de Pappus (P1) se met en evidenee, nous 6noncerons:
Theoreme. -- Les cotes non paralleles et les diagonales dit
trapeze isocele (P1) font ccec l'axe de symmtrie des angles constanmment inferieurs ai 45~.
20 Associons entre eux les couples obliques de s6cantes
reelles ou chacun d'eux -avec le couple droit parallele a Oy',
toujours r6el, la realite des quatre points-solution P, devient
evidente.
Faisons maintenant la discrimination des secantes et de.
leurs points communs P1. Sur Ox' les points ou se croisent les
cot6s prolong6s du trapeze et les diagonales 6tant le premier
plus eloigne vers la droite que le second, il en ira de meme
de leurs projections. Les abscisses de ces projections s'obtiennent
en faisant y = x dans les 6quations xz + X2y -- 1 = 0,?4x -4- X4 1 i- 1 0 o0, X2 et X1, X correspondent aux racines, x', telles que X < X' < 0, de f. On trouve
1 1 I2 1 12
-' -L2,X' x 2 +a'
et on d6duit que ]a premiere abscisse est inferieure a la deuxieme.
Done a X' correspondent les cotes, a X les diagonales. Sur Oy'
les points ofi passent les c6tes du trapeze sent de part et d'autre
de 0, leurs projections sur Ox seront aussi de part et d'autre
de 0 et celle dont l'abscisse est n6gative r6pondra au cot6
P1P'. Convenons que l'on prenne X > >X et?x > A. Comme
les abscisses considerces s'obtiennent en faisant y x dans
xx + X4?J+ 1-0, et X x - y-son- i =0 e sont,,
2 - 1 ' - x2
c'est la premiere qui provient de P P'. De meme on verra que
xkx + -2Y - -- = 0 symbolise P'P'.