Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT-DEUXIEMNE SOLUTION12

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Los termes constants I et -- 12 nous conduisent ~t formuler
l'identit6e
x 2~y 2-l2 -i- xy — a(x +y)]
- 2(?'1X + '2Y -H 1) 2X — ly 1)
Ecartons la v~algur num~rique x 2 qui transformerait le
premier membre suivant (x-+- y)2 - 2a(x *-i- y)- 12, repr6sentant le couple droit des s(~cantes communes, et identifions.
terme,~ termo. ii vient
On en tire f~) a2)2 -H12X 212 -= 0..Le discriminant do cette r6solvanto vaut 12(12 8a 2).
Si 12 < 8a 2 los couples obliques imaginaires con~jugues
soront associ6,s entre eux et fourniront deux points-solution
reels P'
Si 12 - a 82, admet la racline double -4. On en d6duit
eL, ar"Ace A l'quation auxiliaire
I I ~ ~~~ ~~ I -is\ I - e3
2a 8aIta2 I
EXERCICE. VWrifier quo la droite double )x~y -H- X~2Y i-I
contient Joe point do contact des deux conique s et determiner
Jo second point d'intersection avec I' hyperbole, par exemple.
S12>8a2I la r~solvante possede deux raoines n~gatives qui
cO - a
conviendront, pourvu quo le discriminant doeX2 - F X
soit positif, ce qui est vrai sans condition, et quo los s~cantes
d6sormais r6oiles coupent les coniquos en des points re'els.
Discutons cotte r~alit6 en associant le cerele aux s~cantes. Le
carr6, do la distance du centre aux droites d'un mf'me couple
sera on -- - ot la condition assurer s'exprimera par
1. 2
12
-< 12 o U < L. La consid6ration duJ signe do 121(~ I)
Fth uoinparaison d 6- t a la domi-somme. des racines i
OL d ~~~~~~~~~~~~~~j 2a 2
miontreront quo chaque couple coupe effectivemeut lo cercie.
Variantes. -- 10 Associons do pr~f~rence l'hyperbole aux
ciroites des couples obliques. Pour assurer la r6alit6 des'points