Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT ET UNIEME SOLUTION

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'1 I
ordonnees - -,; mais XA etant pris positivement, P1P'
)2 2
correspondra a -; et, par suite, a la forme X'x' - Xy' + 1,
2
PP'P' la forme Xx' + AY' +- 1, Pareillement les diagonales
P1P'f', PP P' auront pour formes X x' + X2Y'g + 1, Xx' — 2y' -T- 1.
EXERCICE. - Reprendre cette double discrimination a l'aide
des coefficients angulaires des s6cantes examin6s en grandeur,
puis en signe.
Calculons les coordonn6es de Pt par exemple. I1 nous faut
r6soudre le systeme
x1x'- z2y' + 1 -0, x' -> y' - 1 =0.
On trouvera
x - _ )2 -X- -_ AI?1 2 -2 1 A1 2 A2 A1
D'autre part X, X ayant pour valeurs
I (- I 4- _ 2- 8a2), oi 1
i, 2i, seront 2 (- I \12 - 8a2) et X, ' seront
2 /
1 V12 — 1- 4a2 - -2 8a2.
Note. - Artifice de calcul (1). - Si l'on explicite les expressions de x', y' en fonction de a, 1, on sera frappe de leur assez
grande complexite. Songeons alors a 6valuer ces inconnues au
moyen de leurs carr6s: x' _ -\V'x2, y' = /'y'2, et nous
verrons de grandes reductions se produire. Nous obtiendrons
successivement
* '22 ), 9^22 -2 X2
x
)- _ _2. + X2 X`2 - 2A1)A' 2X/2
2 12 2 1 A o 2 2 a2
y22 + X`2 - 2 Xi _ 12 -- 4a2?2' 2 + jX 2 - 2X1 1X32 1 1 2212 '
2 4212- 4a2,
2 2 2a212 1 1 12'

(1) Nous en rencontrerons d'autres, de nature variee, dans le courant de
1 'uvrage.