Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINTGT ET UNIkME SOLUTION11

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L'inconnue principale?, s'obtient, apr~s 6limination de X1,
an moyen de l'quation
2a2X2 ( 2 12 0.
Pour discuter le proble'me, formons le discriminant de f
sa svoi r 12(12 -Sa 2).
Si12 K 8a, les racines en x sont imaginaires, les n-ouples des
skcantes communes 6galement et ne conviennent, gue're a la
recherche des points-solution si on les associe soit au cercie,
soit A l'hyperbole. Si on les associe entre eux, comme les racines
en?, sont imaginaires conjugu6,es et fournissent aL 1 et )'2
(tirkes des deux dernie'res 6galitds) des valeurs imaginaires
conjugu~es, ebiaque droite d'un couple s'associera ah la droite
de me'me forme de l'autre couple, elle lui sera conjuguke et la
coupera, ainsi qu'il est con un, en un. point r~el. 1i existera par
suite deux points-solution reels PP'j'
12
Si 12 -S2 il existe une racine double,~ - 2 2
donuant K- - 2 9 Or, sans particulariser la
2aV2 ' X28a2
nature des couples, on pent choisir -arbitrairement le signe
de %2, puisque x,, et -:k2 figuren.t au me'me titre ':nous supposerons X2 > 0. Les s6cantes du couple double auront pour
formes x' --- x y'V3 — ' 2 aY. Deux points-solution confQndus
P~ et P1, coineident avec A, point de contact du cerele et de
I'hyperbole, qui est encore le point coinmun des s~cantes
doubles (si on fait y'= 0 les formes ci-dessus donnent
X -2 ay'2). Les points P', P'f seront les seconds points de
rencontre de ces s~cantes avec le cercle, par exemple, et leurs
coordonn6es se calcuient ais6ment. par le double syst~me
'2 y' Sa, x' ~ y'\/0 3 2a,\/2. On trouve x' -aV2,
YJ a~+\/'6
Si (2 > Sa 2, lXquation 1 0 a deux racines r6elles n6gatives
convNenables Ipour, le calcul de;k, qui sera n~gatif, et pour celui
de K,2 car It - x devenant poSitif,;k2 sera fourni par un nombre
poii.Assurons la r~aliti des points de rencontre des sicantes
r6elles avec les coniques fondamentales. Relativement a l'hyperbole 6quilatire, il suffira (en se rappelant la th6orie gdom6trique
de l'intersection d'une droite et d'une hyperbole), que les
s6cantes soient momns inclinkes sur l'axe focal que les asymp-totes. Lecearr6 du coefficient angulaire de deux s6cantes du