Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

PRO BLEME DE PAPPU
ENONCE
Par un pont pris sur la bisseetrice d'uan angle droit' ee
atn'segment de ion gueur eonnue et dont les extrmitMs soient sur
les eotMs de l'angie ()
PRELIMINAIRES
Le problbme dont nous allons exposer les tre's norabreuses
solutions -et ee volume est consaer6 aux cent premikres -- se
pri~sente dans sa nature intime comme une question d'ordre
analytique. Les proceds que nons utiliserions le -plus fr6quemment, y compris ceux du dbbut de la gbombtrie analytique, sont
d'un u'sage courant dans la classe de Mathdmatiques. L'6quation
hicarr~e, l'iquation re'ciproque biquadratique joueront un rb'le
fondamental au cours de notre 6tnde; nons mettrons d contribution les m~thodes classiques qui servent & les. r~soudre, et
nous aurons l'occasion dWen imaginer de nouvelles.,Nous ne
croycous pas inutile pour le lecteur de commencer par une
sorte de revision des 6quations r~ciproques.
Equation rkeiproque du premier genre. -On pent la d6finir
en par tant de certaines' relations entre ses coefficients, une fois
les termes ordonn~s, en 6noneant: quation dont les coefficients
extrbmes et les coefficients 6,quidistants des extrbmes sont on
bien 6gaux deux d denx onu bien opposbs deux A deux, cette
deuxii~me hypoth~se entrainant l'absence du terme du milieu.
II en rebsulte denx espbces d'6quations de diffbrents degrbs.
En nous bornant an troisi~me et an quatribme degr6, nous
6erirons
('1) aX -I~ bX2 Ai- bx + a =zzO, (2) aX3 ~bx2 -bx - a 0;
(I) ax4 + bX3 -v CX2+ bx + a 0, (II) aX4 + bx3-bx -a ~0.

(1) Voir un autre proble're de Pappus (g6omnetre alexandrin du Ive si~cle
apr~es J.-C.) aux Proble'res historiques.
Une s~rie de pareifles notes mnarginales se rapporte A~ notre ouvrage La
Science die raisonnement. L'Art die pi'oble'me.'
MAROGER. - Probl. de Pappus. 1