Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

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DEUXITEME PARTIE

point de vue de prendre y - ' I et de former l'identite
/ - x/2 - [l(X y- p 4- 1) (Oc'x -+ 'y -- 1)
comportant le nombre voulu de coefficients a determiner. Mais
nous irons plus directement au but dans l'application qui suit,
pour d6finir les points P1.
Choisissons les axes coordonn6s x'Oy'. Observons la synietrie
des s6cantes d'un meme couple, de sorte que si l'une r6pond
a la forme X1x' '- 2 y' - l,'autre r6pondra a >, x' -- ' - 1
En effet, les points courants (x', y') et (x', y-), symntriques
par rapport a Oy', satisfont en meime temps aux deux formes.
EXERCICE. - Prouver le meme fait i l'aide des points
d'appui des droites sur les axes.
Le couple aura done pour forme
({]x' 4 ---.y' +4 l ) (,x - X2]' -1 'X).
D'un autre cote les coniques fondamentales
xf2 4- '2 -2 S'2 _ l,/2 2a/2x'
permettent la combinaison
x'2 4- y/2 - 12 _ i (X/2 y'2- 2a'2x').
Remarquons la simplicit6 du terme constant - 12 et, pour
le retrouver dans l'identite, multiplions par- 2 le produit
des parentheses de facon a ecrire
x,2 4 1 1y 2 (x2 (x'z 2 y2 2a\2x').
_ - l2(x'/ +- Xy' 1- 1) ((\X' - Jy - 1).
L'absence des termes en x'y' et y' traduisant la sym6trie de
la conique du faisceau relativement a Ox', ainsi que l'6galite
des termes constants r6alisee a priori, ramnent ia trois 6galites
ordinaires, au lieu de six, l'identification des deux membres.
Elles suffiront a determiner les trois coefficients Xi, x2, X.
Avant de les examiner, indiquons essentiellement la nonvalidit6 de l'identite pour X =1. Dans cette hypothlse, en
effet, le couple des s6cantes devient 2x'2 - 2a/2x'- 12 et ne
peut se representer par le produit des parentheses, meme reduit
a (X\x' ~- 1) (?1x' -I — 1). Cela tient du reste a ce que chaque
droite du couple parallele a Oy' est a elle-meme sa propre
sym6trique, alors que dans la forme d6compos6e l'une des
droites admettait l'autre comme symetrique.
Cela pose, l'identification produira
1 -- 12 x2 1 - X = 2 x, ax\i -- 2 1,.