Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

VINGT ET UNIE-ME SOLUTION17

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(nous retronvons la valeur de la hauteur), 2b' =2k - (B -b
2BI 2h -+ B - b.
EXERCICES. -- 1 Montrer que la plus petite et la plus grande
base possibles ont pour valeurs 2h - (B + b), 2k + (B +b).
20 Partir des coordonn6es x, y de la XVIIje solution, faire le
choix des signes de s, S' de fa~-on a obtenir les points-solution
6trangers et retrouver les ordonn~es y' de ces points.
30 Les divers trapkzes sont-ils des quadrilat~res de Pappus?
XXIe Solution
Me'thodologie. -- Proctd de'identificaLtion. - Soient deux
coniques f1(x, y) 0, /2 = 0.
La comibinaison' 11 -A- 4'21?X arbitraire, sert de forme ai une
conique, dite coniqu-e du faisceau lini~aire d&fini par f, et12
contenant les points communs, r6els on imaginaires, aux
coniques donn~es. R16ciproqnemnent, une conique 13 passant
par les qnatre points communs peut prendre cette f orme, puisque
/3 et 11 H-!,12 se, d6terminent l'nne et l'antre et d'nne seule
mani're, an moyen des coordonn~es de cinq points, la premie're
par la forme donn~e, la deuxi~me par /, + X112 of'x est la
valeur du parami~tre obtenue en exprimant que la conique
contient le cinqui6me point, diff6rent des quatre communs
aL /, /2, n6cessaire a sa d6termyination. Pratiquement, vu que
l'on pent multiplier on -diviser les coefficient's des termes
en x, y d'nne courbe /(x, zj) -0 sans changer pour cela la
courbe, on exprimera que les six coefficients de 13 sn rpr
tionnls a eux d /4H- X 12; plus simplemnent, si deux coefficients correspondants sont rendus 6gaux, a priori, on non,
on dentfifera tous les antres, deux at denx. En particulier on
recherche par ce procM6d chacun des trois couples de s~cantes
communes a deux coniquies, la form, 13 prenant ~L lavance
celle d'un ensemble rectiligne quadratique
(acX + r y H-y) ('x- 'y H- v)
Le nombre des coefficient's ind~termin6s, oc a3, y, oc' f3, Piy1
devra Utre choisi judicieusement, car la nature de l'identit6
utilis6e en r~sultera et pr6sentera un caracter pratique plus
ou imoms grand. On se rappellera a ce, propos qu'el~le se
dkcompose en six 6galitds ordinaires qni doiveint conconrit,
aobtenir six inconnues, X y comprise. 11 est commode ah ce