Le problème de Pappus et ses cent premières solutions, par A. Maroger. Avec une préface de M. Paul Mantel.

DIGRESSION

115

exprimons que ces deux points se trouvent sur le cercle. On
aura
(a - /a + 12)2 12 - 2a2 -- 2a\/a2 + 12
9 2
- 5'2(a - /a2 T 12) + U - 0,
(a + v'a2" + 2)2 2 2a + 2a\ a2 + 12
2 2
- XV2(a --- \/a2 - 12) + J - 0.
II vienit, en retranchant,
- 2a9a2 -1 2 - 2aV/a2 - 12 -t 2x~2Va2 -- 12 0,
d'ou X = a2, ce qui montre que A est centre.
Etudions l'hyperbole circonscrite de forme
X2 _ y12 __ 2'' +.
On aura 2a2 - x'2(a - \a2 + 12) + t 0,
2a2 '- /2(a + \/a2 — r 12) - = 0.
On en tire x'- 0, L -- - 2a2, et la forme se r6duit a
x'2 - yZ2 -2a2, montrant que le centre du cercle (av2, 0)
appartient a la conique. Le dessin met en relief les r6sultats
remarquables trouv6s: les hyperboles ont 6et limitees aux
sommets des trapezes.
Occupons-nous enfin des deux systemes biquadratiques
paralleles a Ox et Oy, horizontal et vertical, pour fixer les
id6es. Huit points 6trangers, en outre des quatre situ6s sur Ox',
permettent d'envisager six trapezes isoceles. Les hauteurs seront
B pour deux d'entre ces trapezes, b pour deux autres, B --- b
et B - b pour les deux derniers. On s'en rend compte ainsi.
Dessiner le r6seau complet des quatre horizontales et des
quatre verticales, projeter la grande base PTP}" 6gale a 2B sur
]'horizontale sup6rieure et sur l'horizontale voisine; obtenir des
213
segments egaux a ~ qui seront projet6s sur Ox' et serviront
(de hauteurs a deux trapezes en question; la longueur commune
2B
de ces hauteurs sera 13. Op6rer de irnme avec P P'
\'2 2/2
6gale a 2b qu'on projette sur l'horizontale inf6rieure et sur sa
voisine, les segments obtenus *tant ensuite projet6s sur Ox'.
1-1 restera ' juxtaposer B et b, ou a les retrancher s'il y a